Funció periòdica

En matemàtiques, una funció és periòdica si verifica la condició $f(x+T)=f(x)$; el número $T$ es diu periodo de la funció. Generalment, es diu periodo fonamental al menor número real positiu T que satisfà la condició. Les funcions trigonométriques són eixemples senzills d'una funció periòdica, que en combinacions adequades s'ampren en l'anàlisis harmònic.

L'ona periòdica més simple: una ona harmònica sinusoidal. En este eixemple, A=1, Ω=1 i θ=0.

Un eixemple d'una funció periòdica en periodo P.

De la mateixa manera, pero en un context físic, les ones periòdiques són aquelles ones que mostren periodicitat respecte del temps, és dir, descriuen cicles repetitius. En una ona periòdica es complix:

$x_a(t)=x_a(t+T_p)=x_a(t+n{T}_p)$

a on el periodo propi fonamental $T_p=\frac{1}{F}$, $F$ és la freqüència de la component fonamental de l'ona periòdica i $n$ un número entero.

Tota ona periòdica és, per definició, una ona determinista, por cuanto pot ser descrita matemàticament (per mig d'un model matemàtic).

Perspectiva general

La forma més simple d'ona periòdica és l'ona harmònica (sinusoidal), que es descriu matemàticament:

$x_a(t)=A\sin (\Omega t+\theta )$

Esta ona està completament caracterisada per tres paràmetros: $A$ és l'amplitut de la sinusoide, $\Omega$ és la freqüència en radianes per segon (rad/s), i $\theta$ és la fase en radianes. En lloc de $\Omega$, a sovint s'utilisa la freqüència $F$ cicles per segon o hercios (Hz), a on $\Omega =2\pi F$.

Eixemple d'ona periòdica més complexa. La llínea horisontal blava indica el nivell del valor eficaç.

No obstant, el model descrit per a les ones harmòniques no servix per a descriure estructures periòdiques més complicades: les ones anarmónicas. Joseph Fourier va demostrar que les ones periòdiques en formes complicades poden considerar-se com sumixca d'ones harmòniques (les freqüències de les quals són sempre múltiples sancers de la freqüència fonamental). Aixina, supongam que $x_a(t)$ representa el desplaçament periòdic d'una ona en una certa posició. Si $x_a(t)$ i la seua derivada són contínues, pot demostrar-se que dita funció pot representar-se per mig d'una suma del tipo:

$x_a(t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\sin (n\Omega t+{\theta }_n)$

El procés de determinació matemàtica dels coeficients $A_n$ i les constants de fase ${\theta }_n$, per a una forma d'ona donada es diu anàlisis de Fourier. De la mateixa manera que una forma d'ona periòdica pot analisar-se com una série de Fourier per mig de les contribucions relatives de la freqüència fonamental i els harmònics superiors presents en la forma d'ona, també és possible construir noves formes d'ona periòdiques, sumant a la freqüència fonamental distintes contribucions dels seus harmònics superiors. Este procés es denomina síntesis de Fourier.

És important notar que per a les senyals d'ample de banda llimitat (en la pràctica, totes les d'interés en Telecomunicacions), la suma d'harmònics és també finita:

$x_a(t)=\sum _{n=1}^N{A}_n\sin (n\Omega t+{\theta }_n)$

sent $N$ el número total d'harmònics dels que es compon l'ona periòdica. L'harmònic de freqüència més baixa es denomina primer harmònic o harmònic de freqüència fonamental ($n=1$, per tant d'amplitut $A_1$, freqüència $\Omega$ i fase ${\theta }_1$). De fet, el cas més simple, el d'una ona harmònica, és un cas particular per a un únic harmònic ($N=1$). Atres casos requerixen un número infinit d'harmònics que solament poden existir en les seues formes perfectes com a abstracció matemàtiques degut a que en la naturalea no es poden crear o transmetre senyals d'ample de banda infinit. No obstant, inclús les seues aproximacions (descrits com la suma d'un número llimitat d'harmònics) són de gran interés en la pràctica, especialment en Telecomunicacions. Entre estos casos de senyals periòdiques composts per infinits harmònics es troben les ones quadrades (ona composta exclusivament per harmònics impar l'amplitut dels quals és inversamente proporcional al número d'harmònic, és dir, $x_a(t)=\frac{4A}{\pi }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n-1}\sin [(2n-1)\Omega t+\theta ]$ ) o les triangulars.

Eixemple de síntesis d'una ona quadrada a partir de l'adició dels seus components harmònics. L'ona final resultant solament és una aproximació per l'us d'un número finit de components harmònics: en total, 25. L'últim gràfic de la seqüència (harmonics: 25) pot ser descrit com: $x_a(t)=\frac{4A}{\pi }\sum _{n=1}^{25}\frac{1}{2n-1}\sin [(2n-1)\Omega t+\pi ]$

Esta propietat demostrada per Fourier sobre les ones periòdiques és important en l'estudi de la Teoria de l'Informació i, molt especialment, en la demostració del Teorema de mostreig de Nyquist-Shannon. Esta teorema demostra que tota ona periòdica llimitada en banda (llimitada a components harmònics per baix d'una freqüència màxima coneguda) pot ser descrita en la seua totalitat i sense ambigüitat per una série de mostres no quantificades si es complix que la freqüència de mostreig és superior (mai igual) al doble de la freqüència de l'últim harmònic que pot contindre l'ona.

Valors característics de les ones periòdiques

Valor mig

El valor mig d'una ona $x_a(t)$ es calcula sobre un interval de la funció corresponent a un periodo propi fonamental complet $T_p$ des de qualsevol instant $t_0$.

$A_{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{o}}=\frac{1}{T_p}\underset{t_0}{\overset{t_0+T_p}{\int }}{x}_a(t)dt$

És molt freqüent que el valor mig d'una ona periòdica siga zero. En electrotècnia i electrònica un valor mig no nul medix la magnitut d'un component de corrent contínua en una senyal.

Valor eficaç

El valor eficaç (raïl quadràtica mija o RMS) d'una ona periòdica $x_a(t)$ es calcula sobre un interval de la funció corresponent a un periodo propi fonamental complet $T_p$ des de qualsevol instant $t_0$.

$V_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}}=\sqrt{\frac{1}{T_p}\underset{t_0}{\overset{t_0+T_p}{\int }}|x_a(t){|}^{2}dt}$

El valor eficaç d'una ona periòdica és d'especial interés en física quan s'aplica a pressions (mecànica), tensions o intensitat (electrotècnia o electrònica) per a càlculs relacionats en l'energia o la potència. Con relació al valor màxim (o valor de cresta o pico) $A_{\max }$ en una ónda de valor mig nul, el càlcul del valor eficaç de les següents formes d'ona es poden simplificar:

• Ona harmònica simple (sinusoidal): $A_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}}=\frac{A_{\max }}{\sqrt{2}}$

• Ona quadrada : $A_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}}=A_{\max }$

• Ona triangular: $A_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}}=\frac{A_{\max }}{\sqrt{3}}$

La relació entre l'amplitut màxima i el valor eficaç d'una ona periòdica depén, per tant, de la forma d'ona.

Factor de pic o cresta

Es definix com la relació entre el valor de pic i el valor eficaç. Eixemples de factors de pico:

• Ona harmònica simple (sinusoidal): $f_a=\sqrt{2}$

• Ona quadrada: $f_a=1$

• Ona triangular: $f_a=\sqrt{3}$