Funció periòdica
En matemàtiques, una funció és periòdica si verifica la condició ___MATH_0___; el número ___MATH_1___ es diu periodo de la funció. Generalment, es diu periodo fonamental al menor número real positiu T que satisfà la condició. Les funcions trigonométricas són eixemples senzills d'una funció periòdica, que en combinacions adequades s'ampren en l'anàlisis harmònic.[1]
De la mateixa manera, pero en un context físic, les ones periòdiques són aquelles ones que mostren periodicitat respecte del temps, és dir, descriuen cicles repetitius. En una ona periòdica es complix:
a on el periodo propi fonamental ___MATH_3___, ___MATH_4___ és la freqüència de la component fonamental de l'ona periòdica i ___MATH_5___ un número entero.
Tota ona periòdica és, per definició, una ona determinista, por cuanto pot ser descrita matemàticament (per mig d'un model matemàtic).
Perspectiva general
[editar | editar còdic]La forma més simple d'ona periòdica és l'ona harmònica (sinusoidal), que es descriu matemàticament:
Esta ona està completament caracterisada per tres paràmetros: ___MATH_7___ és l'amplitut de la sinusoide, ___MATH_8___ és la freqüència en radianes per segon (rad/s), i ___MATH_9___ és la fase en radianes. En lloc de ___MATH_10___, a sovint s'utilisa la freqüència ___MATH_11___ cicles per segon o hercios (Hz), a on ___MATH_12___.
No obstant, el model descrit per a les ones harmòniques no servix per a descriure estructures periòdiques més complicades: les ones anarmónicas. Joseph Fourier va demostrar que les ones periòdiques en formes complicades poden considerar-se com sumixca d'ones harmòniques (les freqüències de les quals són sempre múltiples sancers de la freqüència fonamental). Aixina, supongam que ___MATH_13___ representa el desplaçament periòdic d'una ona en una certa posició. Si ___MATH_14___ i la seua derivada són contínues, pot demostrar-se que dita funció pot representar-se per mig d'una suma del tipo:
El procés de determinació matemàtica dels coeficients ___MATH_16___ i les constants de fase ___MATH_17___, per a una forma d'ona donada es diu anàlisis de Fourier. De la mateixa manera que una forma d'ona periòdica pot analisar-se com una série de Fourier per mig de les contribucions relatives de la freqüència fonamental i els harmònics superiors presents en la forma d'ona, també és possible construir noves formes d'ona periòdiques, sumant a la freqüència fonamental distintes contribucions dels seus harmònics superiors. Este procés es denomina síntesis de Fourier.
És important notar que per a les senyals d'ample de banda llimitat (en la pràctica, totes les d'interés en Telecomunicacions), la suma d'harmònics és també finita:
sent ___MATH_19___ el número total d'harmònics dels que es compon l'ona periòdica. L'harmònic de freqüència més baixa es denomina primer harmònic o harmònic de freqüència fonamental (___MATH_20___, per tant d'amplitut ___MATH_21___, freqüència ___MATH_22___ i fase ___MATH_23___). De fet, el cas més simple, el d'una ona harmònica, és un cas particular per a un únic harmònic (___MATH_24___). Atres casos requerixen un número infinit d'harmònics que solament poden existir en les seues formes perfectes com a abstracció matemàtiques degut a que en la naturalea no es poden crear o transmetre senyals d'ample de banda infinit. No obstant, inclús les seues aproximacions (descrits com la suma d'un número llimitat d'harmònics) són de gran interés en la pràctica, especialment en Telecomunicacions. Entre estos casos de senyals periòdiques composts per infinits harmònics es troben les ones quadrades (ona composta exclusivament per harmònics impar l'amplitut dels quals és inversamente proporcional al número d'harmònic, és dir, ___MATH_25___ ) o les triangulars.
Esta propietat demostrada per Fourier sobre les ones periòdiques és important en l'estudi de la Teoria de l'Informació i, molt especialment, en la demostració del Teorema de mostreig de Nyquist-Shannon. Esta teorema demostra que tota ona periòdica llimitada en banda (llimitada a components harmònics per baix d'una freqüència màxima coneguda) pot ser descrita en la seua totalitat i sense ambigüitat per una série de mostres no quantificades si es complix que la freqüència de mostreig és superior (mai igual) al doble de la freqüència de l'últim harmònic que pot contindre l'ona.
Valors característics de les ones periòdiques
[editar | editar còdic]Valor mig
[editar | editar còdic]El valor mig d'una ona ___MATH_27___ es calcula sobre un interval de la funció corresponent a un periodo propi fonamental complet ___MATH_28___ des de qualsevol instant ___MATH_29___.
És molt freqüent que el valor mig d'una ona periòdica siga zero. En electrotècnia i electrònica un valor mig no nul medix la magnitut d'un component de corrent contínua en una senyal.
Valor eficaç
[editar | editar còdic]El valor eficaç (raïl quadràtica mija o RMS) d'una ona periòdica ___MATH_31___ es calcula sobre un interval de la funció corresponent a un periodo propi fonamental complet ___MATH_32___ des de qualsevol instant ___MATH_33___.
El valor eficaç d'una ona periòdica és d'especial interés en física quan s'aplica a pressions (mecànica), tensions o intensitat (electrotècnia o electrònica) per a càlculs relacionats en l'energia o la potència. Con relación a el valor màxim (o valor de cresta o pico) ___MATH_35___ en una ónda de valor mig nul, el càlcul del valor eficaç de les següents formes d'ona es poden simplificar:
- Ona harmònica simple (sinusoidal): ___MATH_36___
- Ona quadrada : ___MATH_37___
- Ona triangular: ___MATH_38___
La relació entre l'amplitut màxima i el valor eficaç d'una ona periòdica depén, per tant, de la forma d'ona.
Factor de pico o cresta
[editar | editar còdic]Es definix com la relació entre el valor de pico i el valor eficaç. Eixemples de factors de pico:
- Ona harmònica simple (sinusoidal): ___MATH_39___
- Ona quadrada: ___MATH_40___
- Ona triangular: ___MATH_41___
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Watson Fulks. Càlcul alvançat. Limusa, imprés en Mèxic- 1973
- Este artícul conté una traducció derivada de «Función periódica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.