Convexidad

La convexidad (de el llatí convexĭtas, -ātis) d'una curva o una superfície, és la zona que s'assembla a l'exterior d'una circumferència o una superfície esfèrica, és dir, que té la seua part sobreixent dirigida a l'observador. És el concepte opost a la concavidad.

Una part $C$ d'un espai vectorial real és convexa si per a cada parell de punts de C, el segment que els unix està totalment inclós en C; és dir, un conjunt és convexo si es pot anar de qualsevol punt a qualsevol un atre en llínea recta, sense eixir del mateix.

Definició

Un conjunt $C \subset R^{n}$ és convexo si para tot $a, b \in C$ :

el segment

[a b] \subset C

.

En una atra expressió, $\forall t \in [0, 1]$ :

(1 - t) a + t b \in C

Note's que en esta fòrmula, la suma dels coeficients $(1 - t)$ i $t$ és $1$ , per lo tant el punt aixina definit no depén de l'orige del sistema de coordenades.

En un conjunt no convexo cada segment que mostra la no convexidad té forçosament que travessar per lo manco dos voltes (en I´i F´) el vora o la frontera del conjunt $C$ , $\partial C$ , definida com

\partial C \equiv \overline{C} - C^{\circ}

a on $C^{\circ}$ és definit com el interior de $C$ . Per tant la convexidad depén essencialment de la forma de la vora del conjunt, i la definició equival a

\forall a \in \partial C, \exists ℓ s.t. \forall b \in C, ⟨ b - a, ℓ ⟩ \leq 0

a on $⟨ a, b ⟩ \in ℝ$ denota el producte escalar usual en $ℝ^{n}$ entre $a$ i $b$ . Intuitivamente, açò diu que, per cada punt en la vora del conjunt $C$ (òssea, cada punt $a \in \partial C$ ) existix un vector $ℓ$ que dividix el pla sancer, i que cada punt $b \in C$ existix solament en el hiperplano en àngul que subtiende a eixe vector traslladat per $a$ .

En el cas d'una frontera diferenciable (sense punts angulosos) es poden considerar els seus tangentes (ya que existix un únic vector normal a la superfície), i resulta prou intuïtiu que els convexos es caracterisen per trobar-se enterament del mateix costat de cada tangente; és dir que les tangentes mai travessen C (com en el punt A de la figura). Esta propietat seguix certa en presència de punts angulosos, com en el cas dels polígons convexos.

S'establix l'equivalència d'estes dos #caracterisació considerant que una tangente (en A per eixemple) és la posició llímit de les cordes [AA'] en A' acostant-se indefinidament de A, en la vora de C. El segment [AA´] està en C mentres que l'açò de la recta (AA') està fora (per l'absurt: si es troba un punt B de C en la recta (AA´), fòra de [AA'], llavors el segment [AB], exterior a C, contradiu la seua convexidad).

Envoltura convexa d'un conjunt

Es diu envolvente convexa d'un conjunt donat C al menor (per inclusió) conjunt convexo que conté a C (és fàcil vore que sempre existix). En la figura, la envoltura convexa de la forma blava obscur és tot el domini blau (és dir l'unió del conjunt original blau obscur en el domini blau clar), i la envoltura convexa dels cinc punts vert obscur és el polígon vert clar (incloent els punts, per supost). En particular, es definix

𝐜𝐨𝐧𝐯 (C) = {t x + (1 - t) y | x, y \in C, t \in [0; 1]}

i, com prèviament dit, es nota que, si $C \subseteq P$ , i $P$ és un conjunt convexo, llavors $C \subseteq 𝐜𝐨𝐧𝐯 (C) \subseteq P$ .

S'establix en facilitat que la envoltura convexa és el conjunt de tots els baricentres positius (és dir en coeficients tots positius) dels punts del conjunt inicial.

En la figura, C és un baricentre positiu d'i B perque està en el segment [AB], i G és un atre tant de D,I i F, perque es troba en el triàngul DEF.

Funció convexa

Plantilla:Vt

Es diu que una funció real, definida sobre un interval és convexa si el domini del pla situat per damunt de la seua curva (en grisa en la figura) lo és. Sense sorpresa, les consideracions anteriors s'apliquen: Solament importa la frontera del domini, és dir la curva d'equació $y = f (x)$ . La convexidad s'expressa aixina: Per a qualsevol parell $(x, x^{'})$ en l'interval $I$ , i qualsevol

Eixemples: l'hipérbola i = $1 / x$ (en x > 0), les paràboles i = ax² + bx + c, en a > 0 i x real variable, i la funció exponencial i = i^x. Si la funció f és derivable llavors la convexidad equival a la condició següent:

que significa que la pendent de la corda entre dos punts x i x' està continguda entre els valors extrems de la derivada. Açò equival al que la derivada siga creixent, en tot el domini de f . Si f és dos voltes derivable, lo anterior significa que la derivada segona és positiva: f"(x) ≥ 0.

És fàcil verificar que els tres eixemples anteriors són convexos:

positiu quan x > 0; (ax² + bx + c)" = 2a > 0; i (i^x)" = i^x, sempre positiu.

Equivalentemente, la convexidad d'una funció pot ser establida usant lo prèviament establit. Definim un conjunt cridat el epigrafo de la funció $f : ℝ^{n} \to ℝ$ . En este cas, una funció és convexa solament si la seua epigrafo és un conjunt convexo.

Diferències entre convexidad i concavidad

La concavidad i la convexidad són definicions arbitràries i opostes. En particular, una funció $f$ és cóncava solament si el seu invers aditiu és convexo; és dir, $f$ és cóncava solament si $- f$ és convexa.

Usant esta definició, solament funcions afins són tant cóncaves com convexas. En particular, no és difícil comprovar que si es té una funció $f : ℝ^{n} \to ℝ$ que satisfacecuando $α + β = 1$ , llavors abdós $f$ i $- f$ són funcions convexas. El cas contrari també és cert: si una funció és tant cóncava com convexa, llavors és afí; esta observació es desprén directament de la definició de convexidad.

Envolventes convexas i sumes de Minkowski

Envolventes convexas

Artícul principal → Envolvente convexa.

Cada subconjunt Plantilla:Mvar de l'espai vectorial està contingut dins d'un conjunt convexo més menut (cridat envolvente convexa de Plantilla:Mvar), és dir, l'intersecció de tots els conjunts convexos que contenen Plantilla:Mvar. L'operador de la càpsula convexa Conv() té les propietats característiques d'un operador de càpsula:

extens:

$S \subseteq conv (S)$ ,

no decreixent:

$S \subseteq T$ implica que $conv (S) \subseteq conv (T)$ , i

idempotent:

$conv (conv (S)) = conv (S)$ . L'operació de caixco convexo és necessària per a que el conjunt de conjunts convexos forme un retícul, en el que la operació de "unir" és la envolvente convexa de l'unió de dos conjunts convexos $conv (S) \lor conv (T) = conv (S \cup T) = conv (conv (S) \cup conv (T)) .$ L'intersecció de qualsevol colecció de conjunts convexos és en sí mateixa convexa, per #lo que els subconjunts convexos d'un espai vectorial (real o complex) formen un retícul complet.

Suma de Minkowski

Artícul principal → Suma de Minkowski.

En un espai vectorial real, la sumixca Minkowski de dos conjunts (no buits), Plantilla:Math i Plantilla:Math, es definix com la suma Plantilla:Math format per la suma de vectores element dels conjunts sumadores $S_{1} + S_{2} = {x_{1} + x_{2} : x_{1} \in S_{1}, x_{2} \in S_{2}} .$ De manera més general, la suma de Minkowski d'una família finita de conjunts (no buits) Plantilla:Math és el conjunt format per la suma d'elements de vectores $\sum_{n} S_{n} = {\sum_{n} x_{n} : x_{n} \in S_{n}} .$

Per a la suma de Minkowski ademés, el conjunt zero Plantilla:Math que conté solament el vector nul Plantilla:Math té importància especial: Per a cada subconjunt no buit S d'un espai vectorial $S + {0} = S;$ en terminologia algebraica, Plantilla:Math és el element d'identitat de la suma de Minkowski (en la colecció de conjunts no buits).^[1]

Càpsules convexas de sumes de Minkowski

La suma de Minkowski es comporta be sobre l'operació de prendre càpsules convexas, com ho mostra la següent proposició:

Deixar Plantilla:Math ser subconjunts d'un espai vectorial real, la càpsula convexa de la seua suma de Minkowski és la suma de Minkowski de les seues càpsules convexas $conv (S_{1} + S_{2}) = conv (S_{1}) + conv (S_{2}) .$

Este resultat és més general per a cada colecció finita de conjunts no buits: $conv (\sum_{n} S_{n}) = \sum_{n} conv (S_{n}) .$

En terminologia matemàtica, les operacions de la suma de Minkowski i de formar càpsules convexas són operacions de conmutación.^[2]^[3]

Sumes de Minkowski de conjunts convexos

La suma de Minkowski de dos conjunts convexos compactes és compacta. La suma d'un conjunt convexo compacte i un conjunt convexo tancat és tancada.^[4]

La següent teorema famosa, provat per Dieudonné en 1966, dona una condició suficient per a que la diferència de dos subconjunts convexos tancats siga tancada.^[5] Utilisa el concepte de con de recessió d'un subconjunt convexo no buide S, definit com: $rec S = {x \in X : x + S \subseteq S},$ a on este conjunt és un con convexo que conté $0 \in X$ i satisfà $S + rec S = S$ . Tinga en conte que si S està tancat i convexo, llavors $rec S$ està tancat i per a tots $s_{0} \in S$ , $rec S = ⋂_{t > 0} t (S - s_{0}) .$

Theorema (Dieudonné). Sean A i B subconjunts no buits, tancats i convexos d'un espai vectorial topològic localment convexo tal que $rec A \cap rec B$ és un subespacio llineal. Si A o B és localment compacte llavors A − B està tancat.

Generalisacions i extensions per a convexidad

La noció de convexidad en l'espai euclidiano pot generalisar-se modificant la definició en uns o atres aspectes. S'utilisa el nom comú de "convexidad generalisada", perque els objectes resultants conserven certes propietats dels conjunts convexos.

Conjunts estrela-convexos (en forma d'estrela)

Artícul principal → Domini en estrela.

Siga Plantilla:Mvar un conjunt en un espai vectorial real o complex. Plantilla:Mvar és una estrela convexa si existix una Plantilla:Math en Plantilla:Mvar tal que el segment de llínea de Plantilla:Math a qualsevol punt Plantilla:Mvar pertanyent a Plantilla:Mvar està contingut en Plantilla:Mvar. Per lo tant, un conjunt convexo no buide sempre és convexo en estrela, pero un conjunt convexo en estrela no sempre és convexo.

Convexidad ortogonal

Artícul principal → Envolvente ortogonalmente convexa.

Un eixemple de convexidad generalisada és la convexidad ortogonal.^[6]

Un conjunt Plantilla:Mvar en l'espai euclidiano es diu ortogonalmente convexo o ortoconvexo, si qualsevol segment paralel a qualsevol dels eixos de coordenades que conecten dos punts de Plantilla:Mvar es troba totalment dins Plantilla:Mvar. És fàcil demostrar que una intersecció de qualsevol colecció de conjunts ortoconvexos és ortoconvexa. Algunes atres propietats dels conjunts convexos també són vàlides.

Geometria no euclidiana

La definició d'un conjunt convexo i una càpsula convexa s'estén naturalment a les #geometria que no són euclidianas en definir un conjunt geodésicamente convexo com un que conté les geodèsicas que unixen dos punts qualssevol del conjunt.

Topología d'orde

Artícul principal → Topología d'orde.

La convexidad es pot estendre per a un conjunt totalment ordenat Plantilla:Mvar dotat de la topología d'orde.^[7]

Deixar Plantilla:Math. El subespacio Plantilla:Mvar és un conjunt convexo si per a cada parell de punts Plantilla:Math en Plantilla:Mvar tal que Plantilla:Math, l'interval Plantilla:Math està contingut en Plantilla:Mvar. És dir, Plantilla:Mvar és convexo si i solament si para tots Plantilla:Math en Plantilla:Mvar, Plantilla:Math implica Plantilla:Math.

Un conjunt convexo no és conexo en general: el subespacio dona un contraeixemple {1,2,3} in Plantilla:Math, que és al mateix temps convexa i no conexa.

Espais de convexidad

La noció de convexidad pot generalisar-se a atres objectes, si se seleccionen certes propietats de convexidad com axioma.

Donat un conjunt Plantilla:Mvar, una convexidad sobre Plantilla:Mvar és una colecció Plantilla:Math de subconjunts de Plantilla:Mvar satisfent els següents #axioma:^[8]^[9]^[10]

El conjunt buit i Plantilla:Mvar estan en Plantilla:Math
L'intersecció de qualsevol colecció de Plantilla:Math és en Plantilla:Math.
L'unió d'una d'orde total (sobre la relació d'inclusió) d'elements de Plantilla:Math és en Plantilla:Math.

Els elements de Plantilla:Math es diuen conjunts convexos i el parell Plantilla:Math es diu espai de convexidad. Per a la convexidad ordinària, es complixen els dos primers #axioma i el tercer és trivial.

Per a una definició alternativa de convexidad abstracta, més adequada per a la geometria discreta, consulte les #geometria convexas associades en les antimatroides.

Vore també

Referències

↑ El conjunt buit és important en la suma de Minkowski, perque el conjunt buit aniquila tots els demés subconjunts: Per a cada subconjunt Plantilla:Mvar d'un espai vectorial, la seua suma en el conjunt buit és buida: $S + \emptyset = \emptyset$ .
↑ Theorem 3 (pages 562–563): “On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space” (1940). Annals of Mathematics 41 (3): 556–583. doi:10.2307/1968735.
↑ Per a conéixer la conmutatividad de la sumixca de Minkowski i la convexificación, consulte la Teorema 1.1.2 (pages 2–3) en Schneider; esta referència analisa gran part de la lliteratura sobre les càpsules convexas de sumes Minkowski en la seua "Chapter 3 Minkowski addition" (pages 126–196): Schneider, Rolf (1993). Convex bodies: The Brunn–Minkowski theory (vol. 44), Cambridge: Cambridge University Press, pp. xiv+490. ISBN 0-521-35220-7.
↑ Lemma 5.3: (2006) Infinite Dimensional Analysis, A Hitchhiker's Guide, Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-29587-7.
↑ Zălinescu, C.. Convex analysis in general vector spaces, River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc, p. 7. ISBN 981-238-067-1.
↑ Rawlins G.J.I. and Wood D, "Ortho-convexity and its generalizations", in: Computational Morphology, 137-152. Elsevier, 1988.
↑ Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.
↑ Soltan, Valeriu, Introduction to the Axiomatic Theory of Convexity, Ştiinţa, Chişinăo, 1984 (in Russian).
↑ Singer, Ivan (1997). Abstract convex analysis, New York: John Wiley & Sons, Inc., pp. xxii+491. ISBN 0-471-16015-6.
↑ van De Vel, Marcel L. J. (1993). Theory of convex structures, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., pp. xvi+540. ISBN 0-444-81505-8.

Enllaços externs

El contenido de este artículo incorpora material de una Plantilla:Reemplazar entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0. Categoría:Wikipedia:Enciclopedia Libre Universal

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Convexidad» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] El conjunt buit és important en la suma de Minkowski, perque el conjunt buit aniquila tots els demés subconjunts: Per a cada subconjunt Plantilla:Mvar d'un espai vectorial, la seua suma en el conjunt buit és buida: $S + \emptyset = \emptyset$ .

[2] Theorem 3 (pages 562–563): “On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space” (1940). Annals of Mathematics 41 (3): 556–583. doi:10.2307/1968735.

[Schneider-3] Per a conéixer la conmutatividad de la sumixca de Minkowski i la convexificación, consulte la Teorema 1.1.2 (pages 2–3) en Schneider; esta referència analisa gran part de la lliteratura sobre les càpsules convexas de sumes Minkowski en la seua "Chapter 3 Minkowski addition" (pages 126–196): Schneider, Rolf (1993). Convex bodies: The Brunn–Minkowski theory (vol. 44), Cambridge: Cambridge University Press, pp. xiv+490. ISBN 0-521-35220-7.

[4] Lemma 5.3: (2006) Infinite Dimensional Analysis, A Hitchhiker's Guide, Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-29587-7.

[Zalinescu_p._7-5] Zălinescu, C.. Convex analysis in general vector spaces, River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc, p. 7. ISBN 981-238-067-1.

[6] Rawlins G.J.I. and Wood D, "Ortho-convexity and its generalizations", in: Computational Morphology, 137-152. Elsevier, 1988.

[7] Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.

[Soltan-8] Soltan, Valeriu, Introduction to the Axiomatic Theory of Convexity, Ştiinţa, Chişinăo, 1984 (in Russian).

[Singer-9] Singer, Ivan (1997). Abstract convex analysis, New York: John Wiley & Sons, Inc., pp. xxii+491. ISBN 0-471-16015-6.

[vanDeVel-10] van De Vel, Marcel L. J. (1993). Theory of convex structures, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., pp. xvi+540. ISBN 0-444-81505-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]