Equació algebraica

En la matemàtica, especialment en l'àlgebra superior, una equació algebraica de grau superior és una equació de la forma P(x) = 0 a on P(x) és un polinomi no nul ni constant, en coeficients sancers, el grau dels quals se supon n ≥ 2.^[1]^[2] A on x denota un número real o complex desconegut que la satisfà, açò és, que reemplaçat en P(x) dona zero com a resultat. Qualsevol número que satisfà l'equació es diu raïl; el problema de resoldre una equació significa trobar totes les seues raïls. Quan el grau del polinomi és n es diu que l'equació corresponent és de grau n.^[3]

Per eixemple, el polinomi en coeficients sancers.

$P (x) = x^{3} - 6 x - 8$

determina l'equació $P (x) = 0$ , és dir, $x^{3} - 6 x - 8 = 0$ . Les resolució d'esta equació determina les raïls de l'equació, les quals s'interpreten geomètricament com seguix.

La gràfica de la funció polinòmica $y = P (x)$ és una curva, a on els zeros del polinomi, si són reals, són les abscisses dels punts de la curva a on talla a l'eix Ox o és tangente al mateix.^[4] Una equació de grau impar, si té per lo manco una raïl real. Després un punt en Ox, (x,0) para dita raïl.^[5]

Història

Les equacions algebraiques d'orde superior estan ya documentades en Mesopotamia i diverses tablillas cuneïformes tracten en problemes pràctics que oferixen la resolució d'este tipo d'equació. De fet la solució general d'equacions de segon grau en coeficients positius ya era coneguda pels pobles mesopotámicos. També en la matemàtica chinenca es coneixia des d'antic la solució d'este tipo d'equacions.

Tant els matemàtics àraps com a chinencs, varen considerar problemes particulars en els que intervenien equacions cúbiques i d'órdens superiors. En l'obra del matemàtic chinenc Li Chih(o Li Yeh, 1192-1279) es consideren inclús alguns problemes que involucren equacions de sext grau. No obstant, sembla que la primera solució general i sistemàtica de les equacions de tercer i quart grau va ser obtinguda per matemàtics italians del XVI. La solució d'estes equacions es podia realisar en térmens de radicals. L'estudi de solucions generals va dur a estos matemàtics inclús a considerar per primera volta els número complex, més freqüentment en els càlculs intermijos necessaris per a trobar certs solucions reals.

L'equació quíntica (i les de grau superior a 5) no admetien solucions generals construibles en térmens de radicals per lo que el seu estudi va ser més complicat i no es varen desenrollar solucions en térmens de funcions trascendentes fins al XIX, per part de matemàtics europeus.

Equacions d'una incògnita

Eixemples

Equació cúbica: $x^{3} - 9 x^{2} + 36 x - 80 = 0$ , en una raïl real i dos complexes conjugades
Equació de quint grau: $x^{5} - 4 x - 2 = 0$ té cinc raïls, tres reals i dos complexes; cap es pot expressar per mig de radicals; cas d'equació «irresoluble per radicals» ^[6]
Equació de sèptim grau: $x^{7} - 8 x^{3} + x - 2 = 0$ té tres raïls reals, una d'elles positiva.
Equació de sext grau: $x^{6} + 2 x^{5} - x^{2} + 7 x - 1 = 0$ té una raïl positiva i una atra negativa

Contraeixemples

Equacions que no són algebraiques sobre $ℚ$ , per no ser alguns dels seus coeficients número racional:

- $x^{2} - \sqrt{3} x - 5 \sqrt[3]{7} = 0$ , els coeficients no són número entero; es pot usar la fòrmula de l'equació completa de grau 2.
- $x^{3} - \sqrt{3} x^{2} - i x + 3 + 5 i = 0$ , els coeficients no són sancers; no obstant la teoria considera que té tres raïls en ℂ.

No obstant estes últimes dos equacions sí són algebraiques sobre

ℂ

, ya que els seus coeficients sí són número complex.

Equacions que no són algebraiques per ser trascendentes:
- $\sin t - 2 t = 0$ , és una equació transcendent, ya que involucra una funció no polinòmica (en este cas l'única solució real d'esta equació és t = 0).
- $x e^{x} - 1 = 0$ , comporta la funció $y = e^{x}$ , que no és un polinomi.^[7]

Consideracions genèriques

Segons els valors que assumixca $n = 1, 2, 3, 4, ..., e t c .$ sorgixen les equacions de la forma

a_{0} x + a_{1} = 0

a_{0} x^{2} + a_{1} x + a_{2} = 0

a_{0} x^{3} + a_{1} x^{2} + a_{2} x + a_{3} = 0

a_{0} x^{4} + a_{1} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{3} x + a_{$} = 0

de grau 1, 2, 3, 4, etc. o equacions llineal, quadràtica, cúbica, cuártica, etc. S'assumix que el coeficient principal $a_{0}$ és distint de zero; encara que cap condició s'establix per als demés coeficients.^[8]

Resoldre equacions algebraiques d'una sola variable és relativament senzill per als graus 1 i 2.

Factorisació

Si k és una raïl de l'equació

P (x) = 0

es deduïx de la teorema del restant que P(x)és divisible per (x-k) i es complix

P (x) = (x - k) P_{1} (x)

a on $P_{1} (x)$ és un polinomi de grau n-1.

Si $k_{1}$ és una atra raïl distinta de k s'obté

P (x) = (x - k) (x - k_{1}) P_{2} (x)

a on $P_{2} (x)$ és un polinomi de grau n-2. I aixina successivament.

Primer grau

Artícul principal → Equació de primer grau.

Segon grau

AP

Una equació de segon grau

$a x^{2} + b x + c = 0$

no sempre admet solució sobre $𝕂$ , encara que sí l'admet sobre la seua clausura algebraica (si es tracta d'un cos de característica nula). Existixen com a molt dos solucions, donades per:

Pot ser que alguna de les solucions anteriors, definibles sobre la clausura algebraica no són números del cos $𝕂$ . Per eixemple l'equació:

No admet solució sobre $ℚ$ pero sí l'admet sobre la seua clausural algebraica i també sobre $ℝ$ (ya que conté a la clausura algebraica de $ℚ$ ).

Equacions de major grau

Per a equacions de tercer i quart grau també poden construir-se les solucions de l'equació sobre la clausura algebraica de $𝕂$ per mig del método dels radicals. Açò va ser anticipat per Gerolamo Cardano, Tartaglia i Lodovico Ferrari, entre uns atres, en el XVI. No obstant, per a grau 5 o major, no té per qué existir una solució construible per mig del método de radicals, fet provat per Évariste Galois a principis del XIX.

Conversió de coeficients

Una equació algebraica en el cos dels racionals sempre pot convertir-se en una equació en coeficients sancers. Per eixemple, prengam l'equació de tercer grau:

multiplicant per tres tota l'equació tenim:

La forma estàndar d'este tipo d'equació, no obstant, té un coeficient unitari al principi:

Si tots els atres coeficients són sancers, llavors les raïls de l'equació són sancers algebraics.

Equacions binomias

L'equació $x^{n} - k^{n} = 0$ té una raïl igual a k, per a qualsevol natural major que 1 i c, sancer.

L'equació $x^{n} - k^{n} = 0$ , detenta una raïl igual a -c per a n natural parell.

L'equació $x^{n} + k^{n} = 0$ posseïx una raïl igual a -c per a qualsevol n, natural impar.

^[9]

Equacions vinculades

Si totes les solucions de F=0 són solucions de l'equació G=0 es diu que esta és conseqüència de l'anterior.

Per eixemple, l'equació

(x - 1^{2} (1 - x^{2}) = 0

és conseqüència de l'equació

2 (x - 1)^{3} - x (x - 1)^{2} = 0

.

En atres térmens, si el conjunt solució de l'equació F = 0 és part del conjunt solució de l'equació G = 0, esta és conseqüència de l'equació F = 0.

Si totes les solucions de F=0 són solucions de l'equació G=0 i recíprocament es diuen que les dos equacions són equivalents.

Com a eixemple, l'equació

x^{3} (x - 1)^{2} - (x - 1)^{2} = 0

i l'equació

(x - 1)^{3} (x^{2} + x + 1) = 0

són equivalents; les seues conjunts solució són iguals.

S'indiquen certes equacions equivalents i equació conseqüència d'una atra

L'equació F+G=G és equivalent a l'equació F = 0.
F/G = 0 és equivalent a l'equació F = 0
FG = 0 és equivalent a les dos equacions F= 0 i G = 0.
L'equació Fⁿ = 0 és conseqüència de l'equació F=0, a on n és sancer positiu major que 2.
L'equació Fⁿ = Gⁿ és equivalent a l'equació F = G si n és impar; i equivalent a les equacions F=G i F= -G si n és parell.^[10]

Proposicions

D'acort a la Teorema fonamental de l'àlgebra tota equació algebraica definida per un polinomi de grau n, té a lo manco una raïl en el conjunt ℂ dels número complex.^[11]

Com a aplicació de el TFA, tota equació algebraica de grau n es pot descompondre en n binomis llineals $x - α_{i}, 1 \leq i \leq n$ , sent $α_{i}$ una raïl, que poguera ser múltiple en algun cas.^[12]

com a eixemple, l'equació de quint grau

$x^{5} - 3 x^{4} + 4 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$

que es factoriza en

$(x - 1)^{3} (x^{2} + 1) = 0$

que té una raïl tripe l'1 i dos raïls conjugades i i -i.

Si una equació de grau n, en coeficients reals, té com a raïl el número complex $z = a + b i$ llavors el conjugat de z^* és també raïl de tal equació; sent $z^{*} = a - b i$ .^[13] Siga l'equació de quart grau

$9 x^{4} - 12 x^{3} + 225 x^{2} + 12 x - 234 = 0$

una de que les seues raíes és el número complex

$\frac{2}{3} + 5 i$ per lo tant una atra raïl, de fet, ho és també $\frac{2}{3} - 5 i$

Una equació algebraica, usant solament el camp dels número real, es pot factorizar en factors llineals $x - α_{i}$ i factors quadràtics de la forma $m x^{2} + n x + p$ que resulta del producte de cada parell de raïls complexes.^[14] El següent eixemple

$4 x^{4} + 14 x^{3} + x^{2} - 3 x - 3 = 0$

que pot ser factorizado com a

$(x - \frac{\sqrt{3}}{2}) (x + \frac{\sqrt{3}}{2}) (x^{2} + x + 1) = 0$ , el trinomi és irreduducible en el conjunt ℝ dels número real

Quan una equació algebraica de coeficients racionals té una raïl real irracional de la forma $p + \sqrt{q}$ , llavors té també el número real $p - \sqrt{q}$ .^[15] Siga l'equació de coeficients racionals de tercer grau

$x^{3} - 3 x^{2} + 1 = 0$

que té dos raïls reals irracionals

$2 + \sqrt{3}$ i $2 - \sqrt{3}$

Atres afirmacions

Si una equació polinomial de coeficients reals té grau impar no menor de 3, llavors té a lo manco una raïl real, perque les atres que serien complexes, apareixen en parelles de complexos conjugats.^[16]

Si l'equació algebraica

$a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + ... + a_{n - 1} x + a_{n} = 0$

té com a raïl el número racional

\frac{p}{q}

, llavors p és divisor de a_n i que és divisor de a₀.

Si l'equació algebraica

$x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + ... + a_{n - 1} x + a_{n} = 0$

(redundant: de coeficients sancers) té una raïl sancera k, llavors a_n és divisible per k. Per eixemple l'equació

$x^{3} - x - 6 = 0$

en seguritat té per lo manco una raïl real sancera, la que té que ser divisor de 6. Potencialment serien

\pm 1, \pm 2 \pm 3, \pm 6

. Precisament el número entero 2 és una raïl, les atres dos són complexes conjugades.

Métodos d'aproximació de raïls

Vore també

Referències

↑ Concordat en Sullivan en Precálculo, qui parla de zeros d'un polinomi
↑ A.G. Kurosch: Equacions algebraiques de graus arbitraris.
↑ Kurosch. Op. cit.
↑ A. G. Kurosch: Àlgebra superior. Editorial Mir Moscou vàries edicions
↑ Àlgebra superior de Lehmann
↑ Kurosch. Op. cit. pág 22
↑ Cotejats en Àlgebra superior d'Albert Adrian i Anàlisis Matemàtic de Haaser- La Salle-Sulivan
↑ Uspensky. Llibre mencionat
↑ Tsipkin: Manual de matemàtiques
↑ Gustafson. àlgebra intermija. ISBN 970-686-553-5
↑ Alfhors: Complex Variable
↑ Leithold. Àlgebra superior
↑ Sullivan. Op. cit.
↑ Kúrosch: Àlgebra superior
↑ Charles Lehman. Àlgebra superior
↑ Sullivan: obra rferida

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Ecuación algebraica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Concordat en Sullivan en Precálculo, qui parla de zeros d'un polinomi

[2] A.G. Kurosch: Equacions algebraiques de graus arbitraris.

[3] Kurosch. Op. cit.

[4] A. G. Kurosch: Àlgebra superior. Editorial Mir Moscou vàries edicions

[5] Àlgebra superior de Lehmann

[6] Kurosch. Op. cit. pág 22

[7] Cotejats en Àlgebra superior d'Albert Adrian i Anàlisis Matemàtic de Haaser- La Salle-Sulivan

[8] Uspensky. Llibre mencionat

[9] Tsipkin: Manual de matemàtiques

[10] Gustafson. àlgebra intermija. ISBN 970-686-553-5

[11] Alfhors: Complex Variable

[12] Leithold. Àlgebra superior

[13] Sullivan. Op. cit.

[14] Kúrosch: Àlgebra superior

[15] Charles Lehman. Àlgebra superior

[16] Sullivan: obra rferida

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]