Paralelisme (matemàtica)

Paralelisme (matemàtica)

Dos rectes paraleles

Plans paralels

En geometria, el paralelisme és una relació que s'establix entre qualsevol varietat llineal de dimensió major o igual a 1 (rectes, plans, hiperplanos, entre uns atres). En el pla cartesiano, dos rectes són paraleles si tenen la mateixa pendent o són perpendiculars a un dels eixos, per eixemple la funció constant.

En geometria afí, expressant una varietat llineal com V = p + I, en p punt i I espai vectorial, es diu que A = a + F és paralela a B = b + G si i solament si F està contingut en G o G està contingut en F, a on A i B són subvariedades llineals de la mateixa varietat llineal V, i F i G són subespacios vectorials del mateix espai vectorial I. En el pla (afí) (V = ${ℝ}^2$), açò es traduïx de la següent manera: dos rectes són paraleles si contenen un mateix vector director.

Observe's que, en un espai afí tridimensional, una recta i un pla poden ser paralels, i també que la coincidència de varietats llineals és un cas particular de paralelisme.

Aixina, dos rectes contingudes en un pla són paraleles si, o be són una i la mateixa recta (són rectes coincidentes) o, pel contrari, no compartixen cap punt.

De manera anàloga, en l'espai dos plans són paralels si, o be són un i el mateix pla, o be no compartixen cap recta.

Paralelisme euclidiano

Dos rectes en un pla

Condicions per al paralelisme

Com mostren les marques, les rectes a i b són paraleles. Açò es pot demostrar perque la travessera t produïx ànguls corresponents congruents $\theta$, mostrats ací abdós a la dreta de la transversal, un damunt i adjacent a la llínea a i l'atre damunt i adjacent a la llínea b

Donades les rectes paraleles l i m en l'espai euclídeo, les següents propietats són equivalents:

1. Cada punt de la recta m està situat exactament a la mateixa (mínima) distància de la recta l ( rectes equidistants).
2. La recta m està en el mateix pla que la recta l pero no es interseca en l (recordem que les rectes s'estenen fins al infinit en qualsevol direcció).
3. Quan les rectes m i l es intersecan en una tercera recta (una transversal) en el mateix pla, els ànguls corresponents d'intersecció en la transversal són congruents.

Ya que es tracta de propietats equivalents, qualsevol d'elles podria prendre's com a definició de rectes paraleles en l'espai euclídeo, pero la primera i la tercera propietat impliquen medició, i per tant, són "més complicades" que la segona. Aixina, la segona propietat és la que se sol elegir com a propietat definitoria de les rectes paraleles en la geometria euclídea. Les demés propietats són llavors conseqüències del postulat de les paraleles de Euclides. Una atra propietat que també implica medició és que les rectes paraleles entre sí tenen el mateix gradient (pendent).

Història

La definició de llínees paraleles com un parell de llínees rectes en un pla que no es troben apareix com a Definició 23 en el Llibre I d'Elements de Euclides. Atres definicions alternatives varen ser discutides per atres grecs, a sovint com a part d'un intent de demostrar el postulat paralel. Proclus atribuïx una definició de les llínees paraleles com a llínees equidistants a Posidonio i cita a Gemio en una llínea similar. Simplicio també menciona la definició de Posidonio aixina com la seua modificació pel filòsof Aganis.

A finals de el XIX, en Anglaterra, els Elements de Euclides seguien sent el llibre de text estàndar en les escoles secundàries. El tractament tradicional de la geometria estava sent pressionat a canviar pels nous desenrolls de la geometria proyectiva i la geometria no euclidiana, per lo que en esta época es varen escriure varis llibres de text nous per a l'ensenyança de la geometria. Una diferència important entre estos texts de reforma, tant entre sí com entre ells i Euclides, és el tractament de les rectes paraleles. Estos texts de reforma no varen estar exents de crítiques i un d'ells, Charles Dodgson (a. k.a. Lewis Carroll), va escriure una obra, Euclides i els seus moderns rivals, en la que s'arremet contra estos texts.

Un dels primers llibres de text de la reforma va ser Geometria elemental de James Maurice Wilson, de 1868. Wilson va basar la seua definició de llínees paraleles en la noció primitiva de direcció. Segons Wilhelm Killing l'idea pot remontar-se a Leibniz. Wilson, sense definir la direcció ya que és una primitiva, utilisa el terme en atres definicions com la seua sexta definició, "Dos rectes que es troben entre sí tenen direccions diferents, i la diferència de les seues direccions és el àngul entre elles." Wilson (1868, p. 2) En la definició 15 introduïx les llínees paraleles d'esta manera; "Les llínees rectes que tenen la mateixa direcció, pero no són parts de la mateixa llínea recta, es diuen llínees paraleles." Wilson (1868, p. 12) Augustus De Morgan va revisar este text i ho va declarar un fracàs, principalment sobre la base d'esta definició i la forma en que Wilson la va utilisar per a demostrar coses sobre les llínees paraleles. Dodgson també dedica una gran secció de la seua obra (Acte II, Escena VI § 1) a denunciar el tractament de Wilson de les paraleles. Wilson va editar este concepte fòra de les edicions tercera i superior del seu text.

Atres propietats, propostes per atres reformadors, utilisades com a substituts de la definició de llínees paraleles, no varen eixir molt millor parades. La principal dificultat, com va senyalar Dodgson, era que per a utilisar-les d'esta manera era necessari afegir axioma adicionals al sistema. La definició de llínea equidistant de Posidonio, exposta per Francis Cuthbertson en el seu text de 1874 Geometria euclidiana adolix del problema de que cal demostrar que els punts que es troben a una distància determinada en un costat d'una llínea recta formen una llínea recta. Açò no pot demostrar-se i deu supondre's que és cert. La propietat dels ànguls corresponents formats per una transversal, utilisada per W. D. Cooley en el seu text de 1860, The Elements of Geometry, simplified and explained requerix una prova del fet de que si una transversal es troba en un parell de llínees en ànguls corresponents congruents llavors totes les transversal deuen fer-ho. De nou, es necessita un nou axioma per a justificar esta afirmació.

Símbol

El símbol de paralel és $\parallel$. Per eixemple, $AB\parallel CD$ indica que la llínea AB és paralela a la llínea CD.

En el conjunt de caràcters Unicode, els signes "paralel" i "no paralel" tenen punts de còdic O+2225 (∥) i O+2226 (∦), respectivament. Ademés, O+22D5 (⋕) representa la relació "igual i paralel a".

El mateix símbol s'utilisa per a una funció binaria en ingenieria elèctrica (l'operador paralel). És distint dels corchetes de doble llínea vertical, O+216 (‖), que indiquen una norma (per eixemple, Plantilla:Nobr aixina com de l'operador llògic o (||) en varis llenguages de programació.

Rectes paraleles

Construcció d'una llínea paralela, a un punt donat, usant solament regla i compàs

Dos rectes són paraleles si les seues vectores directors són paralels, és dir, si estos mai s'unixen o creuen.

Axioma d'unicitat

l'axioma que distinguix a la geometria euclidiana d'atres geometria és el següent:

En un pla, per un punt exterior a una recta, passa una i solament una paralela a dita recta.

Propietats

AP Donat el conjunt P de rectes en el pla, podem definir la relació binaria: $\parallel$ que representem del següent modo:

$a\parallel b,\parallel (a,b),(a,b)\in \parallel$

Sent a, b, c rectes en el pla P, es complix:

• Reflexiva: Tota recta és paralela a sí mateixa:

$\mathrm{\forall }a\in P:a\parallel a$

• Simètrica: Si una recta és paralela a una atra, aquella és paralela a la primera:

$\mathrm{\forall }a,b\in P:a\parallel b⟶b\parallel a$

Estes dos propietats es deduïxen de l'intersecció de conjunts i no depenen de l'axioma d'unicitat.

• Transitiva: Si una recta és paralela a una atra, i esta a la seua volta paralela a una tercera, la primera és paralela a la tercera:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in P:(a\parallel b\wedge b\parallel c)⟶a\parallel c$

Després la relació de paralelisme entre rectes del pla és una relació d'equivalència.

Estes mateixes propietats es poden comprovar en el conjunt de plans paralels en l'espai.

Teoremes

• En un pla dos rectes perpendiculars a una tercera són paraleles entre sí.

• Si en un pla una recta curta a una atra recta, llavors talla a totes les paraleles d'esta.

Les demostracions d'estes dos teoremes i de la tercera propietat usen l'axioma d'unicitat.

Construcció

Les tres propietats anteriors conduïxen a tres métodos diferents de construcció de rectes paraleles.

Problema: Dibuixar una llínea que passe per a paralela a l.

• Propietat 1: La llínea m té en tots els llocs la mateixa distància a la llínea l.
  Propietat 1: La llínea m té en tots els llocs la mateixa distància a la llínea l.
• Propietat 2: Traçar una llínea aleatòria a través de a que es interseque en l en x. Mou el punt x a l'infinit.
  Propietat 2: Traçar una llínea aleatòria a través de a que es interseque en l en x. Mou el punt x a l'infinit.
• Propietat 3: Tant l com a m compartixen una llínea travessera a través de a que es interseca en elles a 90°.
  Propietat 3: Tant l com a m compartixen una llínea travessera a través de a que es interseca en elles a 90°.

Distància entre dos llínees paraleles

Artícul principal → Distància entre dos rectes.

Ya que les rectes paraleles en un pla euclídeo són equidistants existix una distància única entre les dos rectes paraleles. Donades les equacions de dos rectes paraleles no verticals ni horisontals,

$y=mx+b_1$

$y=mx+b_2,,$

la distància entre les dos rectes es pot trobar localisant dos punts (un en cada recta) que es troben en una perpendicular comuna a les rectes paraleles i calculant la distància entre ells. Com les rectes tenen pendent m, una perpendicular comuna tindria pendent -1/m i podem prendre la recta en equació i = -x/m com a perpendicular comuna. Resoldre els sistemes llineals

$\{\begin{array}{c}y=mx+b_1\\ y=-x/m\end{array}$

i

$\{\begin{array}{c}y=mx+b_2\\ y=-x/m\end{array}$

per a obtindre les coordenades dels punts. Les solucions dels sistemes llineals són els punts

$(x_1,y_1)=(\frac{-b_{1}m}{m^2+1},\frac{b_1}{m^2+1})$

i

$(x_2,y_2)=(\frac{-b_{2}m}{m^2+1},\frac{b_2}{m^2+1}).$

Estes fòrmules seguixen donant les coordenades correctes dels punts encara que les rectes paraleles siguen horisontals (és dir, m = 0). La distància entre els punts és

$d=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{b_{1}m-b_{2}m}{m^2+1}\right)}^2+{\left(\frac{b_2-b_1}{m^2+1}\right)}^2},$

que es reduïx a

$d=\frac{|b_2-b_1|}{\sqrt{m^2+1}}.$

Quan les rectes vénen donades per la forma general de l'equació d'una recta (s'inclouen les rectes horisontals i verticals):

$ax+by+c_1=0$

$ax+by+c_2=0,$

la seua distància pot expressar-se com

$d=\frac{|c_2-c_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

Dos rectes en un espai tridimensional

Dos rectes en el mateix espai tridimensional que no es creuen no tenen per qué ser paraleles. Només si estan en un pla comú es diuen paraleles; si no, es diuen rectes oblicuas.

Dos rectes distintes l i m en l'espai tridimensional són paraleles si i només si la distància des d'un punt P en la recta m al punt més propenc en la recta l és independent de la posició de P en la recta m. Açò mai és vàlit per a les rectes oblicuas.

Una recta i un pla

Una recta m i un pla q en l'espai tridimensional, la recta no situada en eixe pla, són paralels si i només si no es intersecan.

Equivalentemente, són paraleles si i només si la distància des d'un punt P en la recta m al punt més propenc en el pla q és independent de la posició de P en la recta m.

Dos plans

De forma similar al fet de que les rectes paraleles deuen estar situades en el mateix pla, els plans paralels deuen estar situats en el mateix espai tridimensional i no contindre cap punt en comú.

Dos plans distints q i r són paralels si i només si la distància d'un punt P en el pla q al punt més propenc en el pla r és independent de la localisació de P en el pla q. Açò mai es complix si els dos plans no estan en el mateix espai tridimensional.

Extensió a la geometria no euclidiana

En la geometria no euclidiana, és més comuna parlar de geodèsicas que de llínees (rectes). Una geodèsica és el camí més curt entre dos punts d'una geometria determinada. En física pot interpretar-se com el camí que seguix una partícula si no se li aplica cap força. En la geometria no euclidiana (elíptica o geometria hiperbòlica) les tres propietats euclidianas mencionades anteriorment no són equivalents i només la segona (La llínea m està en el mateix pla que la llínea l pero no es interseca en l) és útil en les geometria no euclidianas, ya que no implica cap mida. En geometria general les tres propietats anteriors donen tres tipos diferents de curves, curves equidistants, geodèsiques paraleles i geodèsiques que compartixen una perpendicular comuna, respectivament.

Geometria hiperbòlica

Intersecció, llínees paraleles i ultra paraleles que passen per a sobre l en el pla hiperbòlic. Les llínees paraleles semblen intersecarse en l just fòra de l'image. Açò és només un artefacte de la visualisació. En un pla hiperbòlic real les llínees s'acostaran entre sí i es "trobaran" en l'infinit.

Mentres que en la geometria euclidiana dos geodèsiques poden creuar-se o ser paraleles, en la geometria hiperbòlica existixen tres possibilitats. Dos geodèsiques que pertanyen al mateix pla poden ser:

1. intersecantes, si es creuen en un punt comú del pla,
2. paraleles, si no es creuen en el pla, pero convergixen a un punt llímit comú en l'infinit (punt ideal), o
3. ultra paraleles, si no tenen un punt llímit comú en l'infinit.

En la lliteratura les geodèsiques ultra paraleles solen cridar-se no intersecantes. Les geodèsiques que es intersecan en l'infinit es denominen paraleles llímit.

Com en l'ilustració a través d'un punt a que no està en la llínea l hi ha dos paraleles llímit, una per cada direcció punt ideal de la llínea l. Separen les llínees que es intersecan en la llínea l i les que són ultra paraleles a la llínea l.

Les rectes ultra paraleles tenen una única perpendicular comuna (teorema de la ultraparalela), i divergixen a abdós costats d'esta perpendicular comuna.

Geometria esfèrica o elíptica

En l'esfera no existix la llínea paralela. La llínea a és un gran círcul, l'equivalent a una llínea recta en la geometria esfèrica. La llínea c és equidistant a la llínea a pero no és un gran círcul. És un paralel de latitut. La llínea b és una atra geodèsica que es interseca en a en dos punts antípodes. Compartixen dos perpendicular comunes (una es mostra en blava).

En la geometria esfèrica, totes les geodèsiques són grans círculs. Els grans círculs dividixen l'esfera en dos hemisferis iguals i tots els grans círculs es creuen entre sí. Per lo tant, no hi ha geodèsiques paraleles a una geodèsica donada, ya que totes les geodèsiques es creuen. Les curves equidistants en l'esfera es diuen paralels de latitut anàlecs a les llínees de latitut en un globo terráqueo. Els paralels de latitut poden ser generats per l'intersecció de l'esfera en un pla paralel a un pla que passa pel centre de l'esfera.

Variant reflexiva

Si l, m, n són tres llínees distintes, llavors $l\parallel m\wedge m\parallel n⟹l\parallel n.$

En este cas, el paralelisme és una relació transitiva. No obstant, en el cas l = n, les rectes superpostes no es consideren paraleles en geometria euclídea. La relació binaria entre rectes paraleles és evidentment una relació simètrica. Segons els principis de Euclides, el paralelisme "no" és una relació reflexiva i, per tant, "no" és una relació d'equivalència. No obstant, en geometria afí un fes de rectes paraleles es pren com una classe d'equivalència en el conjunt de rectes a on el paralelisme és una relació d'equivalència.

Per a això, Emil Artin (1957) va adoptar una definició de paralelisme en la que dos rectes són paraleles si tenen tots o cap dels seus punts en comú. Llavors una recta és paralela a sí mateixa de modo que les propietats reflexiva i transitiva pertanyen a este tipo de paralelisme, creant una relació d'equivalència sobre el conjunt de rectes. En l'estudi de la geometria d'incidència, esta variant de paralelisme s'utilisa en el pla afí.

Vore també

• Perpendicularidad
• Quint postulat de Euclides
• Ànguls entre paraleles
• Rectes paraleles tallades per una secante

Referències

• Parallel en MathWorld.

Bibliografia

(3 vols.): Plantilla:Isbn (vol. 1), Plantilla:Isbn (vol. 2), Plantilla:Isbn (vol. 3). Heath's authoritative translation plus extensive historical research and detailed commentary throughout the text.

• «Mathematical Visions: The Pursuit of Geometry in Victorian England».Academic Press.Boston:
• «Elementary Geometry».Macmillan and Co..
• «Foundations of Geometry».McGraw–Hill.