Classe d'equivalència

La congruència és un eixemple d'una relació d'equivalència. Els dos triànguls més a l'esquerra són congruents, mentres que els triànguls tercer i quarto no són congruents en cap atre triàngul que es mostra ací. Per lo tant, els primers dos triànguls estan en la mateixa classe d'equivalència, mentres que el tercer i quart triànguls estan en la seua pròpia classe d'equivalència

En matemàtiques, quan els elements d'algun conjunt S tenen una noció d'equivalència definida en ells (formalisada com una relació d'equivalència), llavors es pot dividir naturalment el conjunt S en classes d'equivalència. Estes classes d'equivalència es construïxen de modo que els elements a i b pertanyen a la mateixa classe d'equivalència si i solament si són equivalents.

Formalment, donat un conjunt S i una relació d'equivalència en S, la classe de equivalència d'un element a en S és el conjunt

$\{x\in S\mid x\sim a\}$

d'elements que són equivalents a l'element a. Pot demostrar-se a partir de les propietats definitorias de les relacions d'equivalència que les classes d'equivalència formen una partició de S. Esta partició, el conjunt de classes d'equivalència, a voltes es denomina conjunt cocient o espai de cocients de S respecte a i es denota per S / .

Quan el conjunt S té alguna estructura (com una operació de grup o una topología) i la relació d'equivalència és compatible en esta estructura, el conjunt cocient a sovint hereta una estructura similar a la del seu conjunt orige. Els eixemples inclouen espais cocients en àlgebra llineal, espais cocients en topología, grups cocients, espais homogéneus, anells cocients, monoides cocients i categories cocients.

Eixemples

• Si X és el conjunt de tots els automòvils, i és la relació d'equivalència "tindre el mateix color que", llavors una classe d'equivalència particular consistix en tots els automòvils verts. X/ podria identificar-se naturalment en el conjunt de tots els colors d'un automòvil.
• Siga X el conjunt de tots els rectànguls en un pla, i la relació d'equivalència "té la mateixa àrea que". Per a cada número real positiu A hi haurà una classe d'equivalència de tots els rectànguls que tenen àrea A.
• Considere's la relació d'equivalència del mòdul 2 en el conjunt Z de sancers: x i si i solament si la seua diferència x − i és un número par. Esta relació dona lloc a exactament dos classes d'equivalència: una classe que consistix en tots els número par i l'atra que consistix en tots els número impar. Baixe esta relació es té que per eixemple, [7], [9] i [1], tots ells representen el mateix element de Z/.
• Siga X el conjunt de parells ordenats de sancers (a,b) en b no zero, i es definix una relació d'equivalència en X segons la qual (a,b) (c,d) si i solament si ad = bc. Llavors, la classe d'equivalència del parell (a,b) es pot identificar en el número racional a/b, i esta relació d'equivalència i les seues classes d'equivalència es poden utilisar per a donar una definició formal del conjunt dels número racional. La mateixa construcció es pot generalisar al camp de fraccions de qualsevol domini d'integritat.

• Si X consistix en totes les rectes en, per eixemple, el pla euclídeo, i L M significa que L i M són rectes paraleles, llavors el conjunt de rectes que són paraleles entre sí formen una classe d'equivalència sempre que una recta es considere paralela a sí mateixa En esta situació, cada classe d'equivalència determina un punt en l'infinit.

Notació i definició formal

Una relació d'equivalència en un conjunt X és una relació binaria en X, que satisfà les tres propietats següents:

• a a para tot a en X (reflexividad),
• a b implica b a para tots a i b en X (simetria),
• si a b i b c, llavors a c per a tot a b i c en X (transitividad).

La classe d'equivalència d'un element a es denota [a] o [a], i es definix com el conjunt $\{x\in X\mid a\sim x\}$ d'elements que estan relacionats en l'element a per   . La paraula "classe" en el terme "classe d'equivalència" no es referix a les classes com es definix en la teoria de conjunts, pero les classes d'equivalència a sovint resulten ser classes pròpies.

El conjunt de totes les classes d'equivalència en X sobre una relació d'equivalència R es denota com X/R i es diu X mòdul R (o el conjunt del cocient de X per R). l'aplicació sobreyectiva $x\mapsto [x]$ de X a X/R que fa correspondre cada element a la seua classe d'equivalència, es diu sobreyección canònica o aplicació de proyecció canònica.

Quan s'elegix un element (a sovint implícitament) en cada classe d'equivalència, açò definix una aplicació inyectiva cridada secció. Si esta secció es denota per s, es té que [s(c)] = c per a cada classe d'equivalència c. L'element s(c) es diu representant de c. Qualsevol element d'una classe es pot elegir com a representant de la classe, especificant la secció de manera apropiada.

A voltes, existix una secció que és més "natural" que les atres. En este cas, els representants es diuen representants canònics. Per eixemple, en aritmètica modular, considere's la relació d'equivalència en els sancers definits per a b si (a − b) és un múltiple d'un sancer positiu dau n, cridat mòdul. Cada classe conté un número entero no negatiu únic menor que n, i estos número entero són els representants canònics. La classe i el seu representant estan més o menys identificats, com ho demostra el fet de que la notació a mod n pot denotar la classe o el seu representant canònic (que és el restant de la divisió de a per n).

Vore també

• Particionamiento d'equivalència, un método per a dissenyar conjunts de proves en proves de software basades en dividir les possibles entrades del programa en classes d'equivalència d'acort en el comportament del programa en eixes entrades
• Espai homogéneu, l'espai cocient dels grups de Lie
• Travessera (combinatòria)