Secció (teoria de categories)

Archiu:Section retract.svg

$f$ és una retracció de $g$ . $g$ és una secció de $f$.

En la teoria de categories, una branca de les matemàtiques, una secció és l'invers dret d'algun morfismo. Dualmente, una retracció és l'inversa esquerra d'algun morfismo. En atres paraules, si $f:X\to Y$ i $g:Y\to X$ són morfismos la composició de les quals $f\circ g:Y\to Y$ és el morfismo d'identitat en $Y$, llavors $g$ és una secció de $f$, i $f$ és una retraccion de $g$.

Cada secció és un monomorfismo (cada morfismo en una inversa a l'esquerra és cancelable cap a l'esquerra), i cada retracció és un epimorfisme (cada morfismo en una inversa cap a la dreta és cancelable cap a la dreta).

En àlgebra, les seccions també es denominen monomorfismos dividits i les retracció també es denominen epimorfismes dividits. En una categoria abeliana, si $f:X\to Y$ és un epimorfisme dividit en monomorfismo dividit $g:Y\to X$, llavors $X$ és isomorfo a la suma directa de $Y$ i el núcleu de $f$ . El sinònim corretracción de secció es veu a voltes en la lliteratura, encara que rara volta en treballs recents.

Propietats

• Una secció que també és un epimorfisme és un isomorfisme. Dualmente una retracció que també és un monomorfismo és un isomorfisme.

Terminologia

El concepte de retracció en la teoria de categories prové de la noció essencialment similar de retracció en topología: $f:X\to Y$ on $Y$ és un subespacio de $X$ és una retracció en el sentit topològic, si és una retracció del mapa d'inclusió $i:Y\hookrightarrow X$ en el sentit de la teoria de categories. El concepte d'topología va ser definit per Karol Borsuk en 1931.

L'alumne de Borsuk, Samuel Eilenberg, va anar junt en Saunders Mac Lane el fundador de la teoria de categories i (ya que les primeres publicacions sobre teoria de categories es referien a varis espais topològics) un podria haver esperat que este terme s'haguera utilisat inicialment. De fet, les seues publicacions anteriors, fins a, per eixemple, Homology de Mac Lane (1963), utilisaven el terme inversa dreta. No va ser fins a 1965, quan Eilenberg i John Coleman Moore varen falcar el terme dual "corretracción", que el terme de Borsuk va ser elevat a la teoria de categories en general. El terme corretracción va donar pas al terme secció a finals dels anys 1960.

Tant l'us d'inversa esquerra/dreta com de secció/retracció es veuen comunament en la lliteratura: el primer us té la ventaja de que és familiar per la teoria de semigrupos i monoides; Alguns consideren que este últim és menys confús perque no és necessari pensar en "quina direcció prendre" la composició, un problema que s'ha tornat major en la creixent popularitat del sinònim f;g de g∘f.

Bibliografia

• Mac Lane, Saunders (1978). Categories for the working mathematician, 2nd edició, Springer Verlag.

• Barry, Mitchell (1965). Theory of categories, Academic Press.