Semigrupo

Plantilla:De magma a grup 4 Un semigrupo és un sistema algebraic de la forma $(A,⊚)$ en la qual A és un conjunt no buit, $⊚$ és una operació interna definida en A:

$\begin{array}{cccc}⊚:& A\times A& ⟶& A\\ & (a,b)& ⟼& c=a⊚b\end{array}$

Un semigrupo complix les dos següents propietats:

En atres paraules, un semigrupo és un magma associatiu. Si ademés es complix la propietat conmutativa:

es diu que és un semigrupo conmutativo o abeliano.

Eixemples

Un eixemple de semigrupo conmutativo és el conjunt dels número natural, $N$ en l'operació suma, +. Que es representa: $(N,+)$.

$\begin{array}{cccc}+:& N\times N& ⟶& N\\ & (a,b)& ⟼& c=a+b\end{array}$

Podem vore que '+' és:

Una operació interna, ya que la suma de dos número natural és un atre número natural:

$\mathrm{\forall }a,b\in N:a+b\in N$.

Una operació associativa:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in N:(a+b)+c=a+(b+c)$.

I conmutativa:

$\mathrm{\forall }a,b\in N:a+b=b+a$.

Després $(N,+)$ és semigrupo conmutativo o abeliano.

Atres eixemples són els formats pel conjunt $Z$⁺ dels sancers positius junt en una qualsevol de les següents operacions:

• la multiplicació
• l'obtenció del m.c.d.
• l'obtenció del m.c.m.

Estos tres són semigrupos abelianos,

• Considerem el conjunt potencia de A, P(A) = {X/ X⊂ A}; P(A) tant en l'unió quant l'intersecció de conjunts és un semigrupo en unitat. Unitat per a l'unió és el conjunt buit; i en este eixemple, l'unitat per a l'intersecció serà el conjunt A.
• Siga $M_n$ el conjunt de la matrius reals d'orde n, en la suma de matrius. En tal cas és un semigrupo conmutativo. Lo mateix, quan es considera la multiplicació és un semigrupo, pero no és conmutativo.
• Siga $P_n$ el conjunt de matrius estocàstiques en l'habitual multiplicació de matrius; si és aixina és un semigrupo.

• Siga S = {4k+1/ k ∈ ℕ} en la multiplicació habitual d'número natural. Després S és un semigrupo multiplicativo.

Subsemigrupo

Considerant S⁰ ⊂ S a on S⁰ és un semigrupo en l'operació: ■, direm que S⁰ és un subsemigrupo si x ■ i està en S⁰ per a qualsevol x, i elements de S⁰.

Eixemples

• El conjunt N dels número natural i l'operació suma (+) de naturals, (N,+) és semigrupo:

$\begin{array}{cccc}+:& N\times N& ⟶& N\\ & (a,b)& ⟼& c=a+b\end{array}$

és un subsemigrupo del semigrupo. (N.+), el conjunt 2N aditiu dels naturals parells:

$\begin{array}{cccc}+:& 2N\times 2N& ⟶& 2N\\ & (a,b)& ⟼& c=a+b\end{array}$

$\mathrm{\forall }a,b\in 2N:a=2i,b=2j,a+b=2i+2j=2(i+j)=2k=c$

4N dels naturals múltiples de 4, en l'adició de naturals:

$\begin{array}{cccc}+:& 4N\times 4N& ⟶& 4N\\ & (a,b)& ⟼& c=a+b\end{array}$

$\mathrm{\forall }a,b\in 4N:a=4i,b=4j,a+b=4i+4j=4(i+j)=4k=c$

subsemigrupo ya que 4N ⊂ 2N ⊂ N.

• El conjunt de les matrius diagonals d'orde 2, en la suma de matrius, és un subsemigrupo del semigrupo aditiu de la matrius quadrades d'orde 2.

Vore també

Grup Monoide Semigrupo Magma Conjunt Llei de composició Interna Asociatividad Element neutre Element simètric

Referències

Referències