Monoide

Plantilla:De magma a grup 4 En àlgebra abstracta, un monoide és una estructura algebraica en una operació binaria, que és associativa i té element neutre, és dir, és un semigrupo en element neutre.

Definició formal

Un monoide $(A,⊚)$ és una estructura algebraica en la que $A$ és un conjunt i $⊚$ és una operació binaria interna en $A$:

$\begin{array}{cccc}⊚:& A\times A& ⟶& A\\ & (a,b)& ⟼& c=a⊚b\end{array}$

Que complix les següents tres propietats (la primera és redundante en la definició):

És fàcil demostrar que l'element neutre és necessàriament únic per lo que és redundante exigir la seua unicitat en este axioma o propietat. En essència, un monoide és un semigrupo en element neutre.

Conmutatividad

Si ademés es complix la propietat conmutativa:

Es diu que és un monoide conmutativo o abeliano.

Eixemples

Concatenació de cadenes alfanumèriques

AP AP Donat un conjunt A de caràcters alfanumèrics, que cridarem alfabet, una cadena alfanumerica de l'alfabet A és una seqüència d'elements de A en qualsevol orde i de qualsevol llongitut, si prens el conjunt com:

$A=\{\text{d,e,f,g,5,8,9}\}$

Cadenes de l'alfabet A, que representem C(A) poden ser:

$\text{«fdggdd»}$

$\text{«df5d8»}$

$\text{«888»}$

$\text{«eeefeffe»}$

La cadena buida, la que no té cap caràcter, seria:

$\text{«»}$

Definim l'operació: $\circ$ , de concatenació de cadenes de l'alfabet A com:

$\begin{array}{cccc}\circ :& C(A)\times C(A)& \to & C(A)\\ & (a,b)& \to & c=a\circ b\end{array}$

que podem representar, de les següents formes:

• $\text{«egdd»}\circ \text{«dfdf»}\to \text{«egdddfdf»}$

• $\text{«589»}\circ \text{«gg»}\to \text{«589gg»}$

podem vore que $(C(A),\circ )$ té estructura algebraica de monoide:

1.- És una operació interna: per a qualsevol dos cadenes de l'alfabet A la seua concatenació és una cadena de A:

$\mathrm{\forall }a,b\in C(A):a\circ b\in C(A)$.

2.- És associativa:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in C(A):a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$

3.- Té element neutre: per a tot element a cadena de caràcters de A, existix la cadena buida $\text{«»}$ de A, de modo que:

$\mathrm{\forall }a\in C(A):\mathrm{\exists }\text{«»}:\text{«»}\circ a=a\circ \text{«»}=a$

La concatenació de cadenes de caràcters no és conmutativa:

$a,b\in C(A):a\circ b\ne b\circ a$

Sent a, b de C(A) la concatenació de a en b no és igual a la concatenació de b en a.

Després la concatenació de cadenes alfanumèriques és un monoide no conmutativo.

Multiplicació de número natural

Partint del conjunt dels número natural:

$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\dots \}$

i l'operació multiplicació:

$\begin{array}{cccc}\times :& \mathbb{N}\times \mathbb{N}& \to & \mathbb{N}\\ & (a,b)& \to & c=a\times b\end{array}$

podem vore que: $(\mathbb{N},\times )$ és un monoide:

1.- És una operació interna: per a qualsevol dos número natural la seua multiplicació és un número natural:

$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{N}:a\times b\in \mathbb{N}$.

2.- És associativa:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{N}:a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$

3.- Té element neutre: el 1 en N és l'element neutre per a la multiplicació de tots els número natural ya que complix:

$\mathrm{\exists }1\in \mathbb{N}:\mathrm{\forall }a\in \mathbb{N}:1\times a=a\times 1=a$

4.- La multiplicació de número natural és conmutativa:

$\mathrm{\forall }a,b\in A:a\times b=b\times a$

El conjunt dels número natural, baix l'operació multiplicació: $(\mathbb{N},\times )$, té estructura algebraica de monoide conmutativo o abeliano.

Vore també

Grup Monoide Semigrupo Magma Conjunt Llei de composició Interna Asociatividad Element neutre Element simètric

Referències

Bibliografia

1. Gutiérrez Gómez. Àlgebra llineal, 2 edició (en espanyol), Edicions Piràmide, S.A.. ISBN 978-84-368-0174-3.

Referències