Operació interna

Arbre de classificació

Una operació matemàtica, es diu que és una operació interna, en un conjunt A si para tots els valors de l'operació el resultat pertany a A.

En el cas d'un conjunt $A$ i una operació binaria $⊚$ definida sobre ell $(A,⊚)$, tindrem que para dos elements qualssevol del conjunt A operats baix $⊚$, el resultat sempre pertany al mateix conjunt A. És dir:

$\begin{array}{cccc}⊚:& A\times A& ⟶& A\\ & (a,b)& ⟼& c=a⊚b\end{array}$

El resultat sempre pertany al mateix conjunt:

$\mathrm{\forall }a,b\in A:a⊚b\in A$

Eixemple

Siga el conjunt dels número natural: N i l'operació suma: +, $(\mathbb{N},+)$ podem vore:

$\begin{array}{cccc}+:& \mathbb{N}\times \mathbb{N}& ⟶& \mathbb{N}\\ & (a,b)& ⟼& c=a+b\end{array}$

Es complix:

$\mathrm{\forall }x,y\in \mathbb{N}:x+y\in \mathbb{N}$.

Per a tot valor x i i que pertanyen als número natural, la suma x + i pertany als número natural.

Per lo tant $(\mathbb{N},+)$ és una operació interna.

Si veem el mateix conjunt dels número natural i l'operació resta: -, $(\mathbb{N},-)$ tenim que:

$\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }x,y\in N:x-y\in N$.

No per a tots els valores x i i que pertanyen a N, x - i pertany a N, o lo que és lo mateix:

$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{N},\mathrm{\exists }y\in \mathbb{N}:x-y\notin \mathbb{N}$.

Per a tot valor x de N, existixen valors i de N tal que x - i no pertany a N, això es dona en tots els casos en els que i és major que x, per eixemple, 3 - 5 no pertany a N.

L'operació resta dels número natural no és una operació interna.

Vore també

• Conjunt
• Operació matemàtica
• Operació binaria

• Llei de composició
• Propietats de les operacions binàries
• Estructura algebraica