La suma[2] o suma és l'operació matemàtica de composició que consistix en combinar o afegir dos números o més de la mateixa espècie per a obtindre una cantitat final o total. La suma també ilustra el procés de juntar dos coleccions d'objectes en la finalitat d'obtindre una sola colecció. Per un atre costat, l'acció repetitiva de sumar u, és la forma més bàsica de contar.
L'adició (normalment representada pel símbol més, +, encara que no un signe com a tal) és una de les quatre operacions aritmètiques bàsiques, sent les atres tres la resta, multiplicació i divisió.
En l'àlgebra moderna s'utilisa el nom suma i el seu símbol "+" per a representar l'operació formal d'un anell que dota a l'anell d'estructura de grup abeliano, o l'operació d'un mòdul que dota al mòdul d'estructura de grup abeliano. També s'utilisa a voltes en teoria de grups per a representar l'operació que dota a un conjunt d'estructura de grup. En estos casos es tracta d'una denominació purament simbòlica, sense que necessàriament coincidixca esta operació en la suma habitual en números, funcions, vectores, etc.
L'adició s'escriu utilisant el signe més "+" entre els térmens, i el resultat s'expressa en un signe igual.[3]
Història
L'home neolític ya feya matemàtica elemental, per lo tant sabia sumar; pero prèviament va captar l'idea de restar, ya que els seus mijos de subsistència disminuïen durant l'any, i no li era tan fàcil de repondre.[4]
Els egipcíacs varen aplegar a sumar lo que es diuen hui, número natural i els número fraccionario. Els babilonios varen aplegar a sumar els quadrats dels número natural. Els chinencs i els hindús varen sumar números negatius. En la Renaixença, en l'auge de la banca i del comerç, es va impondre la suma de decimals, catapultada per l'ús del sistema de numeració decimal. Ademés es va popularisar l'adició de logaritmes vulgars, que reemplaçava eficaçment a la multiplicació de números tant en el comerç, finances, astronomia, navegació, etc.[5]
En la forma dels diferents tipos de número, es parla de suma d'número real (o expressions decimals) i la suma d'número complejo, que no és sino la suma de parells ordenats d'número real. Pero sí, en les seues pròpies peculiaritats, tant en generalisar per a racionals i sancers. Ademés se sumen en atres objectes, encara en l'àlgebra de Boole es parla de suma boleana.[6]
Propietats de la suma d'número natural
Propietat de pany o clausurativa: si <math> a,b in S</math> llavors <math> a+b in S</math>, sent <math>S</math> qualsevol d'estos conjunts: <math>mathbb{N}, mathbb{Z}, mathbb{Q}, mathbb{R} </math> o <math>mathbb{C}</math>.
Propietat conmutativaPropietat conmutativa: L'apany dels sumants no modifica el resultat: <math>a+b=b+a</math>.
Propietat associativaPropietat associativa: Propietat que establix que quan se suma tres o més números, el resultat sempre és el mateix independentment de el seu agrupament.[7] Un eixemple és: <math>a+(b+c)=(a+b)+c</math>.
Propietat distributiva: La suma de dos números multiplicada per un tercer número és igual a la suma del producte de cada sumant multiplicat pel tercer número. Per eixemple, <math>(3+4)cdot6=3cdot6+4cdot6</math>.
Propietat cancelativa: Si <math> a+ c = b+c </math> llavors <math> a = b </math> i recíprocamente.
No funcionen en número natural
Element neutre: El element identitat aditiu dels números és el zero, denotat per 0; perque tot número sumat en el 0 dona el mateix número com a total. Simbòlicament: <math>a+0=0+a=a</math>; eixemple: <math>0+3=3</math>[nota 1][nota 2]
<br> Element opost: Si <math> a in S </math> existix <math> -a in S </math> tal que <math> a + (-a) = 0 </math>. Eixemple: <math> 7 + (-7) = 0 </math>
Si tots els térmens s'escriuen individualment, s'utilisa el símbol "+" (llegit més). En açò, la suma dels números 1, 2 i 4 és <math> 1+2+4=7 </math>.
També es pot amprar el símbol "+" quan, a pesar de no escriure's individualment els térmens, s'indiquen els números omesos per mig de punts suspensivos i és senzill reconéixer els números omesos. Per eixemple:
<math> 1+2+3+cdots+98+99+100 </math> és la suma dels cent primers número natural.
<math> 2+4+8+cdots+512+1024 </math> és la suma de les dèu primeres dos|potències de 2.
En sumes llargues o infinites s'ampra un nou símbol, cridat sumatorio, i es representa en la lletra grega sigma mayúscula (Σ). Per eixemple:
<math>sum_{k=1}^{100} k</math> és la suma dels cent primers número natural.
<math>sum_{k=1}^{10} 2^k</math> és la suma de les dèu primeres potències de 2.
<math>sum_{k=1}^{infty}frac{1}{k^{2}}</math> és la suma de tots els números racionals de la forma <math> frac{1}{k^2} </math>.
Esta és una suma d'una successió, l'enèsim terme de la qual és la suma dels primers n térmens de la série infinita; és dir, se sumen tots els elements d'un conjunt infinit; no obstant, en realitat es calcula el llímit de tots els elements que se sumen i es calcula el llímit matemàtic.
Efectuar una suma
<math>
{ color{Blue}
left .
begin{array}{l}
3 to
left {
begin{array}{l}
{ color{Cyan} bigstar }
{ color{ret} clubsuit }
{ color{Plum} blacklozenge }
end{array}
right .
2 to
left {
begin{array}{l}
{ color{Ret} blacksquare }
{ color{Sépia} spadesuit }
end{array}
right .
end{array}
right }
to 5
}
</math>
El procediment paradigmàtic per a efectuar sumes de varis números, denominats «sumants», és el següent:
Els sumants es coloquen en files successives ordenant les sifres en columnes, escomençant per la dreta en la sifra de les unitats (O), a l'esquerra les decenes (D), la següent les centenes (C), la següent els millers (M), etc.
La suma dels números 750 + 1583 + 69 s'ordenarien de la següent forma:
<math>
begin{array}{rrrrr}
& M & C & D & O
& & 7 & 5 & 0
& 1 & 5 & 8 & 3
+ & & & 6 & 9
hline
end{array}
begin{array}{l}
Se sumen en primer lloc les sifres de la columna de les unitats segons les taules elementals, colocant en el resultat la sifra d'unitats que resulte; quan estes unitats siguen més de 10 les decenes s'acumulen com un sumant més en la fila de carrege.[8]
En este cas 3 més 9 són 12, el 2 de el 12 es posa en la part inferior i el 1 es passa com carrege en la columna següent.
En la columna de les decenes, procedint llavors a la suma d'eixa columna com si foren unitats.
Vàrem sumar el 1 del carrege més 5, 8 i 6 que donen un total de 20, el 0 de 20 es posa en la part inferior com a resultat i el 2 es passa com carrege a la columna següent.
Es procedix d'igual forma en la columna de les decenes, carrege inclós, colocant en la fila de carrege sobre la columna de les centenes les decenes (d'unitats de decenes).
En la columna de les centenes tenim, el 2 de carrege, el 7 i el 5 que sumats donen 14, el 4 de el 14 es posa en la part inferior i el 1 es passa a la següent columna com carrege.
Es procedix d'igual forma en totes les columnes, afegint a la columna última de l'esquerra les decenes de la columna anterior en lloc de pujar a la fila de carrege.
En la columna dels millers tenim 1 de carrege més el 1 de sumant que sumats donen 2, que es posa en la part inferior com a resultat, al no haver més
sumants donem per finalisada l'operació.
Normalment els acarreos o dutes no s'anoten en el paper, sumant directament el carrege als sumants de la columna següent i l'aspecte de la realisació de la suma sense les anotacions auxiliars seria el següent:
↑From Enderton (p.138): "...select two sets K and L with card K = 2 and card L = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."
