Divisió (matemàtica)

Archiu:División.png

Divisió (matemàtica)

Archiu:Divide20by4.svg

$20÷4=5$

En la matemàtica, la divisió és una operació parcialment definida en el conjunt dels número entero; en canvi, en el cas dels número racional, reals i complexos és sempre possible efectuar la divisió, exigint que el divisor siga distint de zero, siga com fora la naturalea dels números per dividir. En el cas de que siga possible efectuar la divisió, esta consistix en indagar quàntes voltes un número (divisor) està «contingut» en un atre número (divident). El resultat d'una divisió rep el nom de «cocient». De manera general pot dir-se que la divisió és la operació inversa de la multiplicació, sempre i quan es realise en un camp.

Deu distinguir-se la divisió «exacta» (subjecte principal d'este artícul) de la «divisió en restant» o residu (la divisió euclídea). A diferència de la suma, la resta o la multiplicació, la divisió entre número entero no està sempre definida; per eixemple, en repartir 20 pomes entre 4 persones, cada una rebrà 5 pomes, pero si es repartixen 21 pomes, cada persona rebrà 5 pomes i sobrarà una. La definició formal de «divisió», «divisibilidad» i «conmensurabilidad» dependrà després del conjunt de definició.

Per a que la divisió produïxca sempre un número en lloc d'un cocient més un restant, els número natural deuen ampliar-se a número racional o número real. En estos sistemes numèrics ampliats, la divisió és l'operació inversa a la multiplicació, és dir a = c / b significa a × b = c, sempre que b no siga zero. Si b = 0, llavors es tracta d'una divisió per zero, que no està definida. En l'eixemple de les 21 pomes, cada persona rebria 5 pomes i un quarto de poma, evitant aixina que quede un restant.

Abdós formes de divisió apareixen en diverses estructures algebraiques, diferents formes de definir l'estructura matemàtica. Aquelles en les que es definix una divisió euclídea (en restant) es denominen dominis euclídeos i inclouen anells polinòmics en una indeterminada (que definixen la multiplicació i la suma sobre fòrmules d'una sola variable). Aquells en els que es definix una divisió (en un únic resultat) per tots els elements distints de zero es denominen camps i anell de divisió. En un anell els elements pels que sempre és possible la divisió es diuen unitats (per eixemple, 1 i -1 en l'anell dels sancers). Una atra generalisació de la divisió a estructures algebraiques és el grup cocient, en el que el resultat de la "divisió" és un grup en lloc d'un número.

Introducció

La forma més senzilla de vore la divisió és en térmens de «cocient i partició»: des del punt de vista del cocient, 20 / 5 significa el número de voltes que cal sumar 5 per a obtindre 20. Des del punt de vista de la partició, 20 / 5 significa el tamany de cada una de les 5 parts en que es dividix un conjunt de tamany 20. Per eixemple, 20 pomes es dividixen en cinc grups de quatre pomes, lo que significa que vint dividit per cinc és igual a quatre. Açò es denota com 20 / 5 = 4, o Plantilla:Sfrac = 4. Lo que es dividix es diu el divident, que es dividix pel divisor, i el resultat es diu el cocient. En l'eixemple, 20 és el divident, 5 és el divisor i 4 és el cocient.

A diferència de les atres operacions bàsiques, en dividir número natural a voltes hi ha un restant que no va uniformemente al divident; per eixemple, 10 / 3 deixa un restant d'1, ya que 10 no és múltiple de 3. A voltes este restant s'afig al cocient com una part fraccionaria, per lo que 10 / 3 és igual a Plantilla:Sfrac o 3.33..., pero en el context de la divisió sancera, a on els números no tenen part fraccionaria, el restant es guarda per separat (o excepcionalment, es descarta o es redoneja). Quan el restant es guarda com a fracció, dona lloc a un número racional. El conjunt de tots els número racional es crea ampliant els sancers en tots els possibles resultats de divisions de sancers.

A diferència de la multiplicació i la suma, la divisió no és conmutativa, lo que significa que a / b no sempre és igual a b / a. La divisió tampoc és, en general, associativa, lo que significa que en dividir vàries voltes, l'orde de la divisió pot canviar el resultat. Per eixemple, (24 / 6) / 2 = 2, pero 24 / (6 / 2) = 8 (a on l'us del paréntesis indica que les operacions dins del paréntesis es realisen abans que les operacions fòra del paréntesis).

La divisió es considera tradicionalment com associatiu esquerre. És dir, si hi ha vàries divisions seguides, l'orde de càlcul va d'esquerra a dreta:

$a/b/c=(a/b)/c=a/(b\times c)\ne a/(b/c)=(a\times c)/b.$

La divisió és dret-distributiva sobre la suma i la resta, en el sentit de que

$\frac{a\pm b}{c}=(a\pm b)/c=(a/c)\pm (b/c)=\frac{a}{c}\pm \frac{b}{c}.$

Lo mateixa ocorre en la multiplicació, ya que $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$. No obstant, la divisió no és distributiva per l'esquerra, ya que

$\frac{a}{b+c}=a/(b+c)\ne (a/b)+(a/c)=\frac{ac+ab}{bc}.$  

Per eixemple $\frac{12}{2+4}=\frac{12}{6}=2,$ pero $\frac{12}{2}+\frac{12}{4}=6+3=9.$

A diferència de la multiplicació, que és al mateix temps distributiva per l'esquerra i per la dreta i, per tant, distributiva.

Definició

La divisió és una operació binaria que a dos números associa el producte del primer pel invers del segon. Per a un número no nul, la funció «divisió per eixe número» és el recíproc de «multiplicació per eixe número». D'esta manera, el cocient $a$ dividit $b$ s'interpreta com el producte $a$ per $\frac{1}{b}$.

Si la divisió no és exacta, és dir, el divisor no està contingut un número exacte de voltes en el divident,^{cita requerida} l'operació tindrà un restant o residu, a on:

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{=}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{\times }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{+}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{.}$

Etimologia: la paraula deriva del llatí dividere: partir, separar.