Divisió euclídea

En matemàtiques, i més precisament en l'aritmètica, la divisió euclidiana (o euclídea), també cridada algoritme de la divisió, és una teorema que assegura que «el procés habitual de divisió entre número entero» pot portar-se a terme i que s'obté un cocient i un restant únics.

Un «algoritme de divisió sancera» és qualsevol método efectiu que produïx un cocient i un residu. Existixen numerosos métodos per a efectuar estos càlculs, com per eixemple la divisió llarga, la factorización de sancers i l'aritmètica modular. L'algoritme de la divisió euclídea (per a número entero) es troba a la base de numerosos resultats de l'aritmètica (com per eixemple l'algoritme de Euclides per a calcular el màxim comú divisor de dos sancers) i la teoria de números; en àlgebra abstracta, està relacionat en el domini euclídeo.

Divisió euclídea d'número natural

Daus dos número natural, el divident, m, i el divisor, d, que deu ser major que zero, cridem cocient, q, al major dels números que multiplicat pel divisor és menor o igual que el divident.

$q=\max \{x\in N|xd\le m\}$

Cridem restant, r, a la diferència entre el divident i el producte del cocient i el divisor.

$r=m-qd$

El restant verifica la inecuación $0\le r<d$ .

De l'equació anterior, es deduïx immediatament la següent igualtat:

$m=qd+r$

Eixemples

Si m = 320 i d = 21, es té que:

$320=(21\times 15)+5$

per l'unicitat de q i r per a un parell determinat d'número natural m i d, es conclou que q = 15 i r = 5.

Ací pots vore divisions per dos sifres entre número entero, en les solucions seguint l'algoritme citat.

Teorema: Algoritme de la divisió

Divisió euclídea en número natural

Daus dos número natural a i b, en b distint de 0, la divisió euclídea associa un cocient q i un restant r, abdós número natural, que verifiquen:

• $a=bq+r$
• $r<b$

La parella (q, r) és única.

De manera formal:

$\mathrm{\forall }(a,b)\in \mathbb{N}\times {\mathbb{N}}^{*},\mathrm{\exists }!(q,r)\in {\mathbb{N}}^2/a=bq+r\text{con}0\le r<b$

Divisió euclídea en número entero

Daus dos número entero a i b, sent b no nul, la divisió euclídea associa un cocient q i un restant r, abdós número entero, que verifiquen:

• $a=b\cdot q+r$
• $0\le r<|b|$

• A q es denomina cocient i a r, restant de la divisió que sempre és un sancer no negatiu.

De manera formal:

$\mathrm{\forall }(a,b)\in \mathbb{Z}\times {\mathbb{Z}}^{*},\mathrm{\exists }q,r\in \mathbb{Z}|a=b\cdot q+r\text{con}0\le r<|b|$

Vore també

• Divisió
• Divisibilidad
• Divisió llarga
• Divisió per galera
• Teoria de números
• Domini euclídeo

Bibliografia

• Miguel Alamar Penadés (2005). Matemàtiques bàsiques, UPV, pp. 16. ISBN 84-9705-862-3.
• Hugo Barrantes (2007). Introducció a la teoria de números, EUNED, pp. 9. ISBN 9968-31-003-4.