Divisió llarga

En aritmètica, la divisió llarga és un algoritme per a dividir dos números, obtenint-se el cocient un dígit per volta. L'implementació d'un procés estàndar de divisió permet trobar cocients entre números arbitrariamente grans, sense necessitat de recórrer a taules en els resultats. Existixen numeroses variants (com el método de la potència, o el método de la galera) depenent de l'apany particular dels elements de la divisió. També s'utilisa el terme per a referir-se a la divisió llarga de polinomis.

La divisió llarga o el método de la potència són algoritmes que «separen» o «descomponen» el problema tradicional de la divisió euclidiana, a saber, el d'un número entero a (cridat divident) per un número entero b (el divisor) per a obtindre el cocient i el restant. L'algoritme descompon el problema de divisió original en varis chicotets problemes de solució metòdica, la resolució de la qual es recolza en taules de multiplicar o de dividir. L'aplicació d'estos algoritmes, en algunes variants, és lo que comunament es denomina efectuar una divisió.

Notacions

Existixen vàries notacions per a la divisió llarga, segons el país.

Algoritme de la divisió llarga

En els països anglófonos, pero també en Mèxic, i Japó, el divident s'escriu a la dreta del divisor, el cocient s'escriu damunt del divident i els successius residus es construïxen per davall.

A la seua volta, existixen dos variants d'esta notació segons si s'escriuen explícitament o no les multiplicacions successives.

Variant llarga

Esta variant és la comunament utilisada en Estats Units. En ella s'anoten les multiplicacions successives.

		$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}$
$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{r}$		$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{o}$
		$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}$

Eixemple : Divisió de 500 entre 4.

     125      (Detalls)
   4)500
     4        (4 &claves;  1 = 4)
     10       (5 -  4 = 1)
      8       (4 &claves;  2 = 8)
      20     (10 -  8 = 2)
      20      (4 &claves;  5 = 20)
       0     (20 - 20 = 0)

Resultat : En la divisió de 500 entre 4 el cocient és 125 i el restant 0.

Variant curta

En esta variant, s'omet l'escritura explícita de les multiplicacions successives.

     125     (Detalls)
   4)500
     10       (5 -  4 = 1)
      20     (10 -  8 = 2)
       0     (20 - 20 = 0)

Método de la potència

S'escriu el divident dalt a l'esquerra i el divisor dalt a la dreta. El cocient es construïx pas a pas i s'escriu baix del divisor. Com en el cas anterior, existixen bàsicament dos variants, una llarga i una atra curta, segons si s'escriuen o no de forma explícita els restants successius i els dividents successius baix el primer divident.

Variant llarga

En el següent eixemple, es calcula cada múltiple i en seguida el restant, efectuant la substracció indicada.

Eixemple : Divisió de 6359 entre 17.

Etapa 1 : divisió de 63 entre 17 6 3 5 9 17 - 5 1 3 1 2

Etapa 2: divisió de 125 entre 17 6 3 5 9 17 - 5 1 37 1 2 5   - 1 1 9       6

Etapa 3 : divisió de 69 entre 17 6 3 5 9 17 - 5 1 374 1 2 5   - 1 1 9       6 9   - 6 8     1

Resultat : En la divisió de 6359 entre 17 el cocient és 374 i el restant 1.

Variant talla

Esta variant consistix en efectuar al mateix temps les substraccions sense escriure-les explícitament.

En l'eixemple següent, estes restes implícites s'indiquen en sub-índexs.

6 23 5 9 17 1 2 3

6 3 5 9 17 1 2 55 37  0 6

6 3 5 9 17 1 2 5 374 0 6 29   0 1

Atres notacions

Alemània

En Alemània s'utilisa una variant del método de la potència, solament que substituint les barres que separen divident, divisor i cocient pel signe usual de la divisió en una sola llínea (: o ÷).

     959 ÷ 7 = 137   (Detalls) 
     7                (7 &claves; 1 = 7)

25 (9 - 7 = 2)

     21               (7 &claves; 3 = 21)
      49              (25 - 21 = 4)
      49              (7 &claves; 7 = 49)
       0              (49 - 49 = 0)

Països Baixos

En els Països Baixos s'utilisa una variant del método de la galera, similar al método de la divisió llarga de la Anglosfera solament que el cocient s'escriu a la dreta del divident i no damunt del mateix.

  11 / 135  12
       11
       --
        25
        22
        --
         3

Generalisació

Número decimal

L'algoritme per a la divisió llarga (o el método de la potència) es generalisa al cas de número decimal; el passage de la menge decimal al divident induïx l'aparició de la menge decimal en el cocient.

Eixemple : divisió de 63,59 per 17 pel método de la potència (es resol com la divisió de 6359 per 17).

6 3 , 5 9 17 1 2 3

6 3 , 5 9 17 1 2 , 5 3,7  6

6 3 , 5 9 17 1 2 , 5 3,74 6 9   1

El mateix algoritme permet prolongar el procés més allà del separador decimal i obtindre un valor aproximat del cocient en tantes sifres decimals com es desige.

Eixemple: valor aproximat de 63/17 al milèsim per divisió llarga (es resol com la divisió de 63000 per 17).

		3	,	7	0	5
17	6	3	,	0	0	0
	1	2	,	0
				1	0
				1	0	0
					1	5

Polinomis

La generalisació de la divisió llarga de polinomis rep el nom de divisió polinomial.

Vore també

• Divisió
• Divisió euclídea
• Divisibilidad
• Divisió per galera
• Divisió de polinomis