Sistema numèric

En aritmètica, àlgebra i anàlisis matemàtic, sistema numèric és un conjunt proveït de dos operacions que verifiquen certes condicions relacionades en les propietats propietat conmutativa, propietat associativa i distributiva. El conjunt dels número entero, els número racional o els número real són eixemples de sistemes numèrics, encara que els matemàtics han creat molts atres sistemes numèrics més abstractes per a diversos fins. Ademés deu tindre's en conte que donat un sistema numèric existixen diverses formes de representar-ho, per eixemple, en els sancers podem usar a representació decimal, la binaria, la hexadecimal, etc. En els racionals podem optar per no expressar-los de manera decimal o com fracció de sancers, etc

Els sistemes numèrics es caracterisen per tindre una estructura algebraica (monoide, anell, cos, àlgebra sobre un cos), satisfer propietats d'orde (orde total, bon orde) i propietats topològiques i analítiques (densitat, metrizabilidad, completitud) adicionals.

Introducció

Convencionalment diversos conjunts dotats de "adició" i "multiplicació" es diuen sistemes numèrics. Entre estos conjunts estan els número natural, els sancers, els racionals, els reals i els complexos, encara que existixen uns atres que generalisen a alguns dels anteriors. Encara que no existix una definició formal de sistema numèric, tots els conjunts dotats d'operacions binarias que es conten convencionalment entre els sistemes numèrics tenen propietats comunes.

En tots els sistemes numèrics convencionals hi ha definides dos operacions binarias associatives denominades adició i multiplicació, i ademés es complix que la multiplicació és distributiva sobre l'adició. L'adició és sempre conmutativa, encara que en alguns sistemes numèrics la multiplicació no sempre és conmutativa): Para a, b i c elements qualssevol de $𝕊$:

• Propietat conmutativa de l'adició: $a+b=b+a$
• Propietat associativa de l'adició: $(a+b)+c=a+(b+c)$
• Propietat associativa de la multiplicació: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
• Propietat distributiva de la multiplicació sobre l'adició: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

l'adició i la multiplicació no necessàriament deuen ser les de l'aritmètica elemental.

Més formalment un sistema numèric es caracterisen per una séxtupla $(𝕊,+,\cdot ,𝒜,𝒪,𝒯)$, a on:

$𝒜$ és un conjunt de axioma que definixen les propietats algebraiques de les operacions i conjeturan la possible existència de cert tipo d'elements (oposts, inversos, etc.)

$𝒪$ és un conjunt de axioma referits a la teoria de l'orde, que donen conte de certes propietats associades a les relacions existents entre els elements.

$𝒯$ és un conjunt de axioma topològics, que possiblement inclouen la definició de certes funcions (distància) i propietats (completitud, densitat, etc.)

Eixemples segons estructura algebraica

Sistemes numèrics en estructura d'anell

• Els número entero $\mathbb{Z}$ són un dels eixemples més senzills d'anells.
• Els número entero mòdul n (a on $n\ne p^q$, en p un número entero primer).
• Els sancers gaussianos $\mathbb{Z}+i\mathbb{Z}$

• Els número entero p-ádicos ${\mathbb{Z}}_p$ que són molt més numerosos que els sancers ordinaris.

Sistemes numèrics en estructura de cos

• Els número racional ($\mathbb{Q}$), mínim cos que conté a l'anell ($\mathbb{Z}$).
• Els número algebraico ($𝔸$) són una extensió algebraica dels número racionals ($\mathbb{Q}$).
• Els número real ($ℝ$), mínim cos complet que conté a $\mathbb{Q}$

• Els número complejo ($ℂ$), mínim cos algebraicamente tancat que conté a $ℝ$
• Els número entero mòdul p (en p primer, ${\mathbb{Z}}_p$) o aritmètica modular de mòdul p.
• Els números hiperreales (${}^{*}ℝ$)són una extensió dels número real ($ℝ$).
• Els números superreales són una generalisació dels números hiperreales.
• Els números surreales són el cos més gran possible que conté als reals i seguixen sent un cos ordenat.
• Els números p-ádicos (${\mathbb{Q}}_p$) són un cos no-arquimedeano que són una compleción mètrica dels racionals, diferent de la compleción dels número real, ya que es basen en una ultramétrica.
• Els algebraics p-ádicos (${\overline{\mathbb{Q}}}_p$) formen la clausura algebraica dels números p-ádicos, encara que es pert la compleción mètrica.
• Els complexos p-ádicos (${ℂ}_p$) formen la compleción mètrica de ${\overline{\mathbb{Q}}}_p$.

Sistemes numèrics en estructura d'àlgebra

• Els números cuaterniónicos
• Els números octoniónicos
• Els números sedeniónicos

Tots estos conjunts són eixemples de números hipercomplejos.

Referències

Bibliografia

• Taylor, Howard E.; Wade, Thomas L. (1966)Matemàtiques Bàsiques en vectores i matrius, Limusa-Wiley, Mèxic D.F.