Element simètric

En Àlgebra abstracta, si tenim un conjunt $A$ en el que s'ha definit una operació matemàtica $⊚$, que anotem: $(A,⊚)$, sent l'operació $⊚$, interna en $A$:

$\begin{array}{cccc}⊚:& A\times A& ⟶& A\\ & (a,b)& ⟼& c=a⊚b\end{array}$

En element neutre $e:$

$\mathrm{\exists }e\in A,\mathrm{\forall }a\in A:a⊚e=e⊚a=a$

Es diu que un element $a\in A$ té:

element simètric per l'esquerra respecte de l'operació $⊚$ si:

$a\in A,\mathrm{\exists }\overrightarrow{a}\in A:\overrightarrow{a}⊚a=e$

element simètric per la dreta respecte de l'operació $⊚$ si:

$a\in A,\mathrm{\exists }\overleftarrow{a}\in A:a⊚\overleftarrow{a}=e$

element simètric respecte de l'operació $⊚$ si existix un element simètric per l'esquerra i per la dreta, açò és:

$a\in A,\mathrm{\exists }\overline{a}\in A:\overline{a}⊚a=a⊚\overline{a}=e$

Un element simètric $\overline{a}$ de $A$ és simètric per la dreta de l'element $a$ i simètric per l'esquerra de l'element $a$.

Notació

Notació aditiva

AP Quan l'operació es denota per "+" (es llig "més"), es denomina suma o adició.

Eixemple

La suma en el conjunt dels número entero: $\mathbb{Z}$,

$\begin{array}{cccc}\oplus :& \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}& ⟶& \mathbb{Z}\\ & (a,b)& ⟼& c=a\oplus b\end{array}$

és interna:

$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{Z}:a\oplus b\in \mathbb{Z}$

En este cas a l'element neutre es denomina zero i es denota per "0",

$\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Z},\mathrm{\exists }0\in \mathbb{Z}:a\oplus 0=0\oplus a=a$

L'element simètric de $a$ es denomina element opost de $a$ i es denota per: $-a$.

Per a dit conjunt de números sancer l'operació suma: $\oplus$, tenim que:

$a\in \mathbb{Z},\mathrm{\exists }(-a)\in \mathbb{Z}:(-a)\oplus a=a\oplus (-a)=0$

Notació multiplicativa

AP Quan l'operació es denota per "·" (es llig "per"), es denomina producte o multiplicació.

Eixemple

La multiplicació en el conjunt dels número racional: $\mathbb{Q}$,

$\begin{array}{cccc}\odot :& \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}& ⟶& \mathbb{Q}\\ & (a,b)& ⟼& c=a\odot b\end{array}$

és interna:

$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{Q}:a\odot b\in \mathbb{Q}$

En este cas a l'element neutre es denomina un o unitat i es denota per "1":

$\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Q},\mathrm{\exists }1\in \mathbb{Q}:a\odot 1=1\odot a=a$

L'element simètric de $a$ es denomina element invers de $a$ i es denota per $a^{-1}$ o per $\frac{1}{a}.$

Per a dit conjunt d'número racional l'operació multiplicació complix:

$\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Q},a\ne 0,\mathrm{\exists }\frac{1}{a}\in \mathbb{Q}:\frac{1}{a}\odot a=a\odot \frac{1}{a}=1$

Vore també

• Element neutre
• Element simètric
  • Element opost
  • Element invers

• Element absorbent
• Element complementari