Kernel (teoria de categories)

En la teoria de categories i les seues aplicacions a atres branques de les matemàtiques, els kerneles o núcleus són una generalisació dels núcleus dels homomorfismes de grup, els núcleus d'homomorfismes modular i certs atres núcleus en àlgebra. Intuitivament, el núcleu del morfismo f : X → I és el morfismo "més general" k : K → X que genera zero quan es compon en (seguit per) f.

Tinga's en conte que els parells de kerneles i les diferències de kerneles (també coneguts com equalisadors binarios) a voltes també es denominen "kernel"; encara que, si be estan relacionades, no són lo mateix, i no es tracten en este artícul.

Definició

Siga C una categoria. Per a definir un núcleu en el sentit teòric general de categoria, C necessita tindre zero morfismos. En eixe cas, si f : X → I és un morfismo arbitrari en C, llavors un núcleu de f és un equalisador de f i el morfismo zero de X a Y. En notació simbòlica:

ker(f) = eq(f, 0_XY)

Per a ser més explícits, es pot usar la següent propietat universal: un núcleu de f és un objecte K junt en un morfismo k : K → X tal que:

• f ∘ k és el morfismo zero de K sobre I;

• Donat qualsevol morfismo k′ : K′ → X tal que f ∘ k′ és el morfismo zero, existix un morfismo únic o : K′ → K tal que k ∘ o = k′.

Tinga's en conte que en molts contexts concrets, es faria referència a l'objecte K com el "núcleu", en lloc del morfismo k. En eixes situacions, K seria un subconjunt de X, i això seria suficient per a reconstruir k com una aplicació d'inclusió; en el cas no concret, en contrast, es necessita el morfismo k per a descriure cóm K deu interpretar-se com un subobjeto de X. En qualsevol cas, es pot demostrar que k és sempre un monomorfismo (en sentit categòric). Es pot preferir definir el núcleu com el parell (K, k) en lloc de simplement K o k solament.

No tot morfismo necessita tindre un núcleu, pero si ho té, llavors tots els seus núcleus són isomòrfics en un sentit fort: si k : K → X i ℓ : L → X són núcleus de f : X → I, llavors existix un isomorfisme únic φ : K → L tal que ℓ∘φ = k.

Eixemples

Els núcleus són familiars en moltes categories del àlgebra abstracta, com la categoria de grups o la categoria de mòduls (a l'esquerra) sobre un anell fix (inclosos els espais vectorials sobre un camp fix). Per a ser explícits, si f : X → I és un homomorfisme en una d'estes categories, i K és la seua núcleu en el sentit algebraic habitual, llavors K és un subálgebra de X i l'homomorfisme d'inclusió de K sobre X és un núcleu en el sentit categòric.

Tinga's en conte que en la categoria de monoides, els núcleus en la teoria de categories, existixen igual que per als grups, pero estos núcleus no duen suficient informació per a fins algebraics. Per lo tant, la noció de núcleu estudiada en la teoria de monoides és llaugerament diferent.

En la categoria d'anells, no hi ha núcleus en el sentit teòric de categoria; de fet, esta categoria ni tan sols té zero morfismos. No obstant, encara es conserva una noció de núcleu estudiada en la teoria d'anells, que correspon als núcleus en la categoria de pseudoanillos.

En la categoria d'espais topològics puntuats, si f : X → I és una aplicació punteada contínua, llavors la preimagen del punt distinguit, K, és un subespacio de X. L'aplicació d'inclusió de K en X és el núcleu categòric de f.

Bibliografia

• Awodey (2010). Category Theory, 2nd edició, Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0.