Dual (teoria de categories)

En teoria de categories dualitat és una correspondència entre propietats d'una categoria C i les anomenades propietats duals de la categoria oposta C^op. Donada una proposició sobre la categoria C en intercanviar el domini i el codominio de cada morfismo i intercanviant l'orde de la composició de dos morfismos obtenim una proposició dual considerant la categoria oposta C^op. La dualitat com a tal és l'afirmació de que la veritat és un invariante baix esta operació en les proposicions. En atres paraules si una proposició és verdadera en C, llavors la seua proposició dual és certa en C^op, i si una proposició és falsa en C, llavors la seua proposició dual és falsa en C^op.

Donada una categoria concreta C és comuna el cas de que la categoria oposta per sí mateixa és abstracta, C^op no necessàriament és una categoria que sorgixca de la pràctica matemàtica, en este cas una atra categoria D es diu que està en dualitat en C si D i C^op són categories equivalents.

En este cas quan una categoria C i la categoria 'C^op són equivalents llavors es diu que està categoria és auto dual.

Definició formal

Es definix el llenguage elemental de la teoria de categories el llenguage de primer orde de dos tipos, en els objectes i morfismos com a distints tipos d'objectes junt en les relacions d'un objecte sent el domini i el codominio d'un morfismo i un símbol per a la composició de dos morfismos.

Siga σ una proposició en este llenguage. Formem la proposició dual σ^op com seguix:

1. Intercanviant cada ocurrència de "domini" per "codomonio".
2. Intercanviant l'orde en que es componen els morfismos, açò és remplazando cada ocurrència de $g\circ f$ per $f\circ g$

Informalment, estes condicions nos diuen que el dual d'una proposició s'obté en invertir fleches i composicions.

Dualitat és l'observació de que σ és verdader per a alguna categoria C si i solament si σ^op és verdader per a C^op.

Eixemples

• Un morfismo $f:A\to B$ és un monomorfismo si $f\circ g=f\circ h$ llavors $g=h$. Realisant l'operació dual obtenim la proposició si $g\circ f=h\circ f$ llavors $g=h.$ per a un morfismo$f:B\to A$. Açò és precisament la definició de que f siga un epimorfisme. En resum la propietat de ser monomorfismo és dual a la propietat de ser epimorfisme.

Aplicant la dualitat, açò significa que un morfismo en una categoria C és un monomorfismo si i solament si el morfismo opost en la categoria C^op és un epimorfisme.

• Un atre eixemple sorgix en invertir la direcció del símbol de desigualtat en un conjunt parcialment ordenat. Aixina que si X és un conjunt i ≤ és un orde parcial podem definir una nova relació d'orde parcial ≤_new com

x ≤_new i si i solament si i ≤ x.

Este eixemple en órdens és un cas especial, com els órdens parcials poden ser considerats com una categoria en el qual Hom(A,B) té a lo més un element. En aplicacions a la llògica açò sembla ser una descripció molt general de negació (açò és les proves van en direcció oposta). Per eixemple si prenem l'oposta d'una retícula, obtindrem que el ínfim i suprem tenen els seus papers intercanviats. Açò és una generalisació de les lleis de De Morgan o de la dualitat aplicada a retículas.

• Llímits i colimites són nocions duals.
• Productes fibrados i Coproductos fibrados són nocions duals.

Vore també

• Objecte dual
• Dualitat (matemàtiques)
• Categoria oposta