Equivalència de categories

En teoria de categories, una branca de la matemàtica abstracta, una equivalència de categories és una relació entre dos categories que establix que abdós categories són "essencialment la mateixa". Hi ha numerosos eixemples de equivalència de categoria en moltes àrees de les matemàtiques. Establir una equivalència implica demostrar fortes similituts entre les estructures matemàtiques implicades. En alguns casos, estes estructures podrien no semblar relacionades a nivell superficial o intuïtiu, fent el concepte poderós, puix crea l'oportunitat de traduir teoremes entre distints tipos d'estructures matemàtiques, sabent que el significat d'eixes teoremes es preservarà despuix de la traducció.

Si una categoria és equivalent al opost (o dual) d'una atra categoria, es parla de dualitat de categories, i s'afirma que abdós categories són dualment equivalents.

Una equivalència de categories consistix en un funtor entre les categories relacionades que deu tindre un funtor invers. No obstant, en contrast en la condició d'isomorfisme per a un plantemaiento algebraic, la composició del funtor i el seu invers no resulta necessàriament en l'identitat. En el seu lloc, és suficient en que cada objecte siga un isomorfisme natural per a la seua image. Per això podrien definir-se els funtores com "inversos fins a l'isomorfisme". Existix de fet el concepte d'isomorfisme de categories, en el que una forma estricta del funtor invers es requerix, pero el seu us reporta molta menys utilitat que el concepte d'equivalència.

Definició

Formalment, donades dos categories $C$ i $D$, una equivalència de categories consistix en un funtor $F:C\to D$, a funtor $G:D\to C$, i dos isomorfismes naturals $ϵ:FG\to I_D$ i $\eta :I_C\to GF$. Ací $FG:D\to D$ i $GF:C\to C$, denoten les respectives composicions de $F$ i $G$, i $I_C:C\to C$ i $I_D:D\to D$ denoten els funtores identitat de $C$ i $D$, assignant cada objecte i morfismo a sí mateixa. Si $F$ i $G$ són funtores contravariantes es parla de dualitat de categories.

Tals senyes generalment no es especficifican. Per eixemple, diem que les categories $C$ i $D$ són equivalents (i respectivament dualment equivalents) si existix una equivalència entre abdós. Ademés, diem que $F$ és una equivalència de categories si existix un funtor $G$ invers i un isomorfisme natural. Considere, no obstant, que conéixer $F$ pugues no ser suficient per a reconstruir $G$ i els isomorfismes naturals, puix podria haver multitut d'alternatives (consultar eixemples més avall).

Caracterisació equivalents

Un funtor F : C → D dona una equivalència de categories si i només si és simultàneament:

• Ple: per a dos objectes qualssevol c₁ i c₂ de C, el mapa Hom_C(c₁, c₂) → Hom_D(Fc₁,Fc₂) induït per F és sobreyectivo.
• Fidel: per a dos objectes qualssevol c₁ i c₂ de C, el mapa Hom_C(c₁, c₂) → Hom_D(Fc₁,Fc₂) induït per F és inyectivo.
• Essencialment sobreyectivo (dens): cada objecte d en D és isomorfo a un objecte de la forma Fc, per a c $\in$ C.

Est és un criteri prou útil i d'aplicació comuna, ya que no és necessari construir explícitament la G "inversa" i els isomorfismes naturals entre FG, GF i els funtores identitat. Per un atre costat, encara que les propietats anteriors garantisen la existència d'una equivalència categòrica (donada una versió suficientment forta del axioma d'elecció en la teoria de conjunts subjacent), l'informació que falta no està completament especificada, i a sovint hi ha moltes opcions. És una bona idea especificar les construccions que falten explícitament sempre que siga possible. Per esta circumstància, un funtor en estes propietats és a voltes cridat una equivalència de categories dèbil (desafortunadament açò entra en conflicte en la terminologia de la teoria de tipos homotópica).

Existix també una estreta relació en el concepte de funtores adjunts. Les següents afirmacions són equivalents per als funtores F : C → D i G : D → C:

• Hi ha isomorfismes naturals de FG a I_D i I_C a GF.
• F és una adjunt a esquerra de G i abdós funtores són plens i fidels.
• G és una adjunt a dreta de F i abdós funtores són plens i fidels.

Per lo tant, es pot considerar una relació de contigüidad entre dos funtores com una forma molt dèbil d'equivalència. Assumint que es donen les transformacions naturals per als complements, totes estes formulació permeten una construcció explícita de les senyes necessàries, i no es necessiten principis d'elecció. La propietat clau que un té que provar ací és que el conteo d'una conjunció és un isomorfisme si i només si l'anex dret és un funtor complet i fidel.

Referències

• Plantilla:Springer
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the working mathematician, New York: Springer, pp. xii+314. ISBN 0-387-98403-8.