Funtor

Una categoria en objectes X, I, Z i morfismos f, g, g ∘ f

En teoria de categories, un funtor o functor és una funció d'una categoria a una atra que fa correspondre objectes en objectes i morfismes en morfismos, de manera que la composició de morfismos i les identitats es preserven.

Els funtores es varen considerar primer en topología algebraica, a on s'associen els objectes algebraics en els espais topològics i s'associen els homomorfismes algebraics en les funcions contínues. Hui en dia, els funtores s'utilisen per mig de les matemàtiques modernes per a relacionar vàries categories.

Eixemples de functores típics són el funtor fidel i el funtor ple.

Definició

Funtor $F$ deu preservar la composició dels morfismos $g$ i $f$

Siguen C i D dos categories. Un funtor F de C a D és una correspondència que

• Associa a cada objecte $X$ en C a un objecte $F(X)$ en D,
• Associa cada morfismo $f:X\to Y$ en C a un morfismo $F(f):F(X)\to F(Y)$ en D de tal manera que les següents dos condicions es mantenen:
  • $F({\mathrm{i}\mathrm{d}}_X)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{F(X)}$ per a tot objecte $X$ en C,
  • $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ per a tots els morfismos $f:X\to Y$ i $g:Y\to Z$ en C.

És dir, els funtores deuen conservar els morfismos d'identitat i la composició de morfismos.

Covarianza i contravarianza

Vore també: Covarianza i contravarianza

Existixen moltes construccions en matemàtiques que serien funtores si no fòra pel fet de que "invertixen els morfismos" i "invertixen la composició". En conseqüència, es definix un funtor contravariante F de C a D com una aplicació que Associa cada objecte $X$ en C en un objecte $F(X)$ en D, Associa cada morfismo $f:X\to Y$ en C en un morfismo $F(f):F(Y)\to F(X)$ en D tal que es complixquen les dos condicions següents:

• • $F({\mathrm{i}\mathrm{d}}_X)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{F(X)}$ per a cada objecte $X$ en C,
  • $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ per a tots els morfismos $f:X\to Y$ i $g:Y\to Z$ en C.

Deu tindre's en conte que els funtores contravariantes invertixen la direcció de la composició.

Els funtores ordinaris també es denominen funtores covariants per a distinguir-los dels contravariantes. Tinga en conte que també es pot definir un funtor contravariante com un funtor covariant en la categoria oposta $C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$. Alguns autors preferixen escriure totes les expressions de manera covariant. És dir, en lloc de dir que $F:C\to D$ és un funtor contravariante, simplement escriuen $F:C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to D$ (o, a voltes, $F:C\to D^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$) i ho criden funtor.

Els funtores contravariantes també es denominen ocasionalment cofuntores.

Existix una convenció que es referix a vectores, és dir, a camps vectorials, elements de l'espai de seccions $\Gamma (TM)$ d'un fibrado tangente $TM$, com contravariantes i a covectores, és dir, 1-formes, elements de l'espai de seccions $\Gamma \left(T^{*}M\right)$ d'un fibrado cotangente $T^{*}M$—com a covariant. Esta terminologia s'origina en la física, i el seu fonament té que vore en la posició dels índexs (dalt i avall) en expressions com ${x^{\prime }}^i={\Lambda }_j^i{x}^j$ per a ${𝐱}^{\prime }=𝜦𝐱$ o $\omega {\text{'}}_i={\Lambda }_i^j{\omega }_j$ per a ${𝝎}^{\prime }=𝝎{𝜦}^{\mathsf{\text{𝖳}}}.$ En este formalisme s'observa que el símbol de transformació de coordenades ${\Lambda }_i^j$ (que representa la matriu ${𝜦}^{\mathsf{\text{𝖳}}}$) actua sobre les coordenades covectoriales de la mateixa manera que sobre els vectores base: ${𝐞}_i={\Lambda }_i^j{𝐞}_j$, mentres que actua de manera oposta sobre les coordenades vectorials (pero de la mateixa manera com en els covectores base: ${𝐞}^i={\Lambda }_j^i{𝐞}^j$). Esta terminologia és contrària a l'utilisada en la teoria de categories perque són els covectores els que tenen reculada en general i, per tant, són contravariantes, mentres que els vectores en general són covariants ya que poden ser posats cap a avant. Vore també covarianza i contravarianza.

Funtor opost

Cada funtor $F:C\to D$ induïx el funtor opost $F^{\mathrm{o}\mathrm{p}}:C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to D^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$, a on $C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ i $D^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ són les categories opostes de $C$ i $D$. Per definició, $F^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ assigna objectes i morfismos de la mateixa manera que $F$. Ya que $C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ no coincidix en $C$ com a categoria, i de manera similar per a $D$, $F^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ es distinguix de $F$. Per eixemple, en compondre $F:C_0\to C_1$ en $G:C_1^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to C_2$, es deu usar $G\circ F^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ o $G^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\circ F$. Tinga's en conte que, seguint la propietat de categoria oposta, ${\left(F^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\right)}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}=F$.

Bifuntores i multifuntores

Un bifuntor (també conegut com funtor binari) és un funtor el domini del qual és una categoria producte. Per eixemple, l'homomorfisme funtorial és del tipo C^op × C → Set. Pot vore's com un funtor en dos arguments. L'homomorfisme funtorial és un eixemple natural; és contravariante en un argument i covariant en l'atre.

Un multifuntor és una generalisació del concepte de funtor a n variables. Llavors, per eixemple, un bifuntor és un multifuntor en n= 2.

Propietats

Dos conseqüències importants de l'axiomàtica dels funtores són:

• F transforma cada diagrama conmutativo en C en un diagrama conmutativo en D
• Si f és un isomorfisme en C, llavors F(f) és un isomorfisme en D

Es poden compondre funtores, és dir, si F és un funtor de A a B i G és un funtor de B a C, llavors es pot formar el funtor compost G ∘ F de A a C. La composició dels funtores és associativa a on es definix. L'identitat de la composició de funtores és el funtor identitat. Açò mostra que els funtores poden considerar-se com morfismos en categories de categories, per eixemple en la categoria de categories menudes.

Una categoria chicoteta en un sol objecte és lo mateix que un monoide: els morfismos d'una categoria d'un sol objecte poden considerar-se elements del monoide, i la composició en la categoria es considera l'operació monoide. Els funtores entre categories d'un sol objecte corresponen a homomorfismes monoides. Llavors, en cert sentit, els funtores entre categories arbitràries són una espècie de generalisació dels homomorfismes monoides a categories en més d'un objecte.

Vore també

• Teoria de categories
• Llímit d'un funtor

Bibliografia

• (2009).«Basic algebra».Dover.2