Morfisme

Automorfisme en $\mathbb{Z}$ que assigna a cada número entero el seu opost.

En varis camps de les matemàtiques, es diuen morfismos (o homomorfismes) a les aplicacions entre estructures matemàtiques que preserven l'estructura interna. Per eixemple, en teoria de conjunts, els morfismos són les funcions entre conjunts; en àlgebra llineal, les transformacions llineals; i en topología, les funcions contínues.

En teoria de categories, el morfismo és una noció més general; una categoria ve donada per dos tipos de senyes: una classe de objectes i, per a cada parell d'objectes X i I, un conjunt de morfismos des de X a I. Els morfismos són freqüentment representats com a fleches entre eixos objectes. En el cas d'una categoria concreta, X i I són conjunts de cert tipo i un morfismo f és una funció des de X a I satisfent alguna condició; este eixemple origina la notació f: X → I. Pero no tota categoria és concreta, per tant estos no són els únics tipos de morfismos.

Definició

Els morfismos formen part de la definició de categoria. Dins d'una categoria, cada morfismo $f$ té associats dos objectes de la categoria, la seua domini i el seu codominio, que es noten respectivament per $\mathrm{dom}f$ i $\mathrm{cod}f$. Un morfismo $f$ en $\mathrm{dom}f=a$ i $\mathrm{cod}f=b$ sol notar-se com $f:a\to b$.

Els morfismos dins d'una categoria deuen complir ademés els següents axioma:

• per a cada parell de morfismos $f,g$ complint que $\mathrm{dom}g=\mathrm{cod}f$, existix la seua composició $g\circ f:\mathrm{dom}f\to \mathrm{cod}g$. La composició és associativa, complint que $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ per a qualsevol morfismo componible $f,g,h$.
• cada objecte $a$ consta d'un morfismo identitat ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_a:a\to a$. Esta identitat és un element neutre respecte de la composició; és dir, es tindrà $\mathrm{i}\mathrm{d}\circ f=f$ i $g\circ \mathrm{i}\mathrm{d}=g$ en els casos en els que els morfismos siguen componibles.

Tipos de morfismos

Monomorfismos i epimorfismes

Un morfismo $f:a\to b$ es diu monomorfismo quan és cancelable a dreta, és dir, quan para qualssevol $g,h:z\to a$ es complix que $f\circ g=f\circ h⟹g=h$. Dualment, un morfismo $f:a\to b$ es diu epimorfisme quan és cancelable a esquerra, és dir, quan para qualssevol $g,h:b\to z$ es complix que $g\circ f=h\circ f⟹g=h$.

Als morfismos que són monomorfismos i epimorfismes se'ls crida bimorfismos.

Inverses laterals

En el cas en el que existixquen dos morfismos $f:a\to b$ i $g:b\to a$ complint que $g\circ f={\mathrm{i}\mathrm{d}}_a$, direm que el morfismo $f$ té una inversa a esquerra, o, equivalentement, que és una secció; mentres que el morfismo $g$ té una inversa a dreta, o, equivalentement, que és una retracció.

Note's que tota secció deu ser un monomorfismo i que tota retracció deu ser un epimorfisme. Per açò, a les seccions li les crida també monomorfismos escindits (split monomorphism) i a les retracció li les crida epimorfismes escindits (split epimorphism). No obstant, el converso no és cert; existixen categories en les que no tots els monomorfismos i epimorfismes són escindits.

Isomorfismes

Un morfismo $f:a\to b$ es diu isomorfisme quan és invertible, és dir, quan existix un morfismo $g:b\to a$ tal que $g\circ f={\mathrm{i}\mathrm{d}}_a$ i $f\circ g={\mathrm{i}\mathrm{d}}_b$.

Quan un morfismo té inversa a esquerra i a dreta, pot demostrar-se que abdós deuen coincidir. En este cas, li la crida simplement inversa. L'inversa d'un morfismo $f$ és única i és a la seua volta un isomorfisme que té a $f$ com a inversa. Note's que tot isomorfisme és en particular un bimorfismo, pero que no tot bimorfismo és un isomorfisme.

Dos objectes $a,b$ en un isomorfisme $f:a\to b$ entre ells es diuen isomorfos o equivalents. La isomorfía és una relació d'equivalència i es nota com $a\cong b$.

Endomorfismes i automorfismes

Els morfismos que tenen a un objecte $a$ com a domini i codominio, $f:a\to a$, es diuen endomorfismes de $a$. Un automorfisme és un endomorfisme que és ademés un isomorfisme.