Funció (matemàtiques)

En l'image d'una relació entre un conjunt de polígons i un conjunt de números. A cada polígon li correspon el seu número de costats.

Una funció vista com una «caixa negra», que transforma els valors o objectes de «entrada» en els valors o objectes de «eixida»

En les matemàtiques, es diu que una magnitut és funció d'una atra si el valor de la primera depén del valor de la segona. Per eixemple, l'àrea A d'un círcul és funció de la seua ràdio r (el valor de l'àrea és proporcional al quadrat del radi, A = π·r²). De la mateixa manera, la duració T d'un viage en tren entre dos ciutats separades per una distancia d depén de la velocitat v a la que es desplace el tren (a saber, la n és inversamente proporcional a la velocitat, T = d / v). A la primera magnitut (l'àrea, la duració) li la denomina variable depenent, i la magnitut de la que depén (el radi i la velocitat) és la variable independent. En anàlisis matemàtic, el concepte general de funció, es referix a una regla que assigna a cada element d'un primer conjunt un únic element d'un segon conjunt. Les funcions són relacions entre els elements de dos conjunts. Per eixemple, cada número entero posseïx un únic quadrat, que resulta ser un número natural (incloent el zero):^[1]

...	−2 → +4,	−1 → +1,	0 → 0,
	+1 → +1,	+2 → +4,	+3 → +9,	...

Esta assignació constituïx una funció entre el conjunt dels número entero Z i el conjunt dels número natural N. Encara que les funcions que manipulen números són les més conegudes, no són l'únic eixemple: pot imaginar-se una funció que a cada paraula del espanyol li assigne el seu lletra inicial:

...,

Estació → I,

Museu → M,

Riera → A,

Rosa → R,

Avió → A,

...

Esta és una funció entre el conjunt de les paraules de l'espanyol i el conjunt de les lletres del alfabet espanyol. La manera habitual de denotar una funció f és:

f: A → B

a → f(a),

a on A és el domini de la funció f; el seu primer conjunt, o conjunt de partida, i B és el codominio de f; el seu segon conjunt, o conjunt d'arribada. Per f(a) es denota la regla o algoritme per a obtindre la image d'un cert objecte arbitrari a del domini A, és dir, el (únic) objecte de B que li correspon. En ocasions esta expressió és suficient per a especificar la funció per complet, infiriendo el domini i codominio pel context. En l'eixemple anterior, les funcions «quadrat» i «inicial», cridant-se $f$ i $g$ , es denotarien llavors com:

f : ℤ \to ℕ

k \to k^{2}

, o sencillamente

f (k) = k^{2}

;

g: V → A

p → Inicial de p;

si es convé V = {Paraules de l'espanyol} i A = {Alfabet espanyol}. Una funció pot representar-se de diverses formes: per mig del citat algoritme o equacions per a obtindre l'image de cada element, per mig d'una taula de valors que emparelle cada valor de la variable independent en la seua image —com les mostrades dalt—, o com una gràfica que done una image de la funció.

Història

El concepte de funció com un objecte matemàtic independent, susceptible de ser estudiat per sí solament, no va aparéixer fins als inicis del càlcul en el XVII.^[2] René Descartes, Isaac Newton i Gottfried Leibniz varen establir l'idea de funció com a dependència entre dos cantitats variables. Leibniz en particular va falcar els térmens «funció», «variable», «constant» i «paràmetro». La notació f(x) va ser utilisada per primera volta pel francés Alexis Claude Clairaut, i pel suís Leonhard Euler en la seua obra Commentarii de Sant petersburgo en 1736.^[3]^[4]^[5]

Inicialment, una funció s'identificava, a efectes pràctics, en una expressió analítica que permetia calcular els seus valors. No obstant, esta definició tenia algunes llimitacions: expressions distintes poden tirar els mateixos valors, i no totes les «dependències» entre dos cantitats poden expressar-se d'esta manera. En 1837, el matemàtic alemà Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet va propondre la definició moderna de funció numèrica com una correspondència qualsevol entre dos conjunts de números, que associa a cada número en el primer conjunt un únic número del segon. L'intuïció sobre el concepte de funció també va evolucionar. Inicialment la dependència entre dos cantitats s'imaginava com un procés físic, de modo que la seua expressió algebraica capturava la llei física que corresponia a est. La tendència a una major abstracció es va vore reforçada mida que es varen trobar eixemples de funcions sense expressió analítica o representació geomètrica senzilles, o sense relació en cap fenomen natural; i pels eixemples «patològics» com a funcions contínues sense derivada en cap punt. Durant el XIX els matemàtics alemans Julius Wilhelm Richard Dedekind, Karl Weierstrass i Georg Cantor, partint d'un estudi profunt dels número real, varen desenrollar la teoria de funcions, sent esta teoria independent del sistema de numeració amprat.^{cita requerida} En el desenroll de la teoria de conjunts, en els sigles XIX i XX va sorgir la definició actual de funció, com una correspondència entre dos conjunts d'objectes qualssevol, no necessàriament numèrics.^[6] També es va associar en atres conceptes vinculats com el de relació binaria.

Introducció

Representació gràfica de la posició d'un cos accelerat a 0,66 m/s²

Una funció és un objecte matemàtic que s'utilisa per a expressar la dependència entre dos magnituts, i pot presentar-se per mig de varis aspectes complementaris. Un eixemple habitual de funció numèrica és la relació entre la posició i el temps en el moviment d'un cos. Un mòvil que es desplaça en una acceleració de 0,66 m/s² recorre una distancia d que està en funció del temps transcorregut t. Es diu que d és la variable depenent i t la variable independent. Estes magnituts, calculades a priori o mides en un experiment, poden consignar-se de vàries maneres. (Es supon que el cos partix en un instant en el que es convé que el temps és t = 0 s.)

Els valors de les variables poden arreplegar-se en una taula, anotant la distància recorreguda d en un cert instant t, per a varis moments distints:

Temps t (s)	Distancia d (m)
0,0	0,0
0,5	0,1
1,0	0,3
1,5	0,7
2,0	1,3
2,5	2,0

la gràfica en l'image és una manera equivalent de presentar la mateixa informació. Cada punt de la curva roja representa una parella de senyes temps-distancia, utilisant la correspondència entre punts i coordenades del pla cartesiano. També pot utilisar-se una regla o algoritme que dicte com s'ha de calcular d a partir de t. En este cas, la distància que recorre un cos en esta acceleració està donada per l'expressió:

d = 0, 33 \times t^{2}

a on les magnituts s'expressen en unitats del SI. D'estos tres modos es reflectix que existix una dependència entre les dos magnituts. Una funció també pot reflectir la relació d'una variable depenent en vàries variables independents. Si el cos de l'eixemple es mou en una acceleració constant pero indeterminada a, la distància recorreguda és una funció llavors d' a i t; en particular, $d = \frac{a \times t^{2}}{2}$ . Les funcions també s'utilisen per a expressar la dependència entre atres objectes qualssevol, no solament els números. Per eixemple, existix una funció que a cada polígon li assigna el seu número de costats; o una funció que a cada dia de la semana li assigna el següent:

Dilluns → Dimarts, Dimarts → Dimecres,..., Dumenge → Dilluns

Definició

Una funció es definix com una associació entre conjunts, el domini i el codominio; de tal manera que a cada element del domini li corresponga un únic element del codominio:

Un objecte $a$ en el domini $A$ es denomina la variable independent; i un objecte genèric $b$ del codomini $B$ és la variable depenent. També se'ls crida valors d'entrada i d'eixida, respectivament. Esta definició és precisa, encara que en matemàtica s'utilisa una definició formal més rigorosa, que construïx les funcions com un objecte concret a partir de l'idea de parells ordenats. És dir, una funció és un conjunt de parells ordenats en el qual el primer element de cada parell no es repetix.

Eixemples

Tots els números reals tenen un cub, per lo que existix la funció «cub» que a cada número en el domini $ℝ$ (números reals) li assigna el seu cub en el codomini $ℝ$ .
Exceptuant el 0, tots els números reals tenen un únic invers. Existix llavors la funció «inversa» el domini de la qual són els números reals no nuls $ℝ - {0}$ , i en codomini $ℝ$ .
Existix una funció «àrea» que a cada triàngul del plà (en la colecció $T$ de tots ells, el seu domini), li assigna la seua àrea, un número real positiu, per tant el seu codomini és $ℝ^{+}$ .

Definició formal. Generalisacions

Les funcions poden definir-se en térmens d'atres objectes matemàtics, com els conjunts i els parells ordenats. En particular, una funció és un cas particular de relació binaria, despuix esta definició està basada en la que s'adopte per a les relacions. En l'enfocament «extensiu» s'identifica una funció en la seua gràfica:

En la definició extensiva no apareix el concepte de codominio com a conjunt potencial a on està contingut el recorregut. En algunes àrees de la matemàtica és important preservar esta distinció, i per tant s'usa una definició distinta:^[7]

En esta definició, dos funcions en el mateix grafo són distintes si la seua codominio no coincidix.

Funcions parcials

Artícul principal → Funció parcial.

També es parla en ocasions de funcions parcials, per a les que no necessàriament cada element del domini posseïx una image, en contrast en les funcions com s'han definit abans, que es denominen totals. A les funcions parcials també li les crida correspondències o relacions unívoques.^[8]

Funció multivaluada

Artícul principal → Funció multivaluada.

En matemàtiques, una funció multivaluada entre $X$ i $I$ és un subconjunt del producte cartesiano $X \times I$ de manera que a un element de $X$ li poden correspondre un o més elements de $I$ , en contradicció en la definició de funció. Prenem la definició del terme correspondència de la versió anglesa d'este artícul.

Funcions en múltiples variables

Una funció multivariable, funció multivariada o funció de vàries variables és una funció que depén de varis arguments.

\begin{matrix} f : & A \times B & ⟶ & C \\ (a, b) & \mapsto & c = f (a, b) \end{matrix}

Existixen molts eixemples de funcions que necessiten dos o més valors per a ser calculades, com la funció «temps de viage» $t$ , que ve donada pel quocient entre la distància ( $d$ ) i la velocitat mija ( $v$ ): cada parella de números reals positius (una distància i una velocitat) té associada un número real positiu (el temps de viage). Per tant, una funció pot tindre dos o més variables independents.

\begin{matrix} f : & D \times V & ⟶ & T \\ (d, v) & \mapsto & t = \frac{e}{v} \end{matrix}

La noció de funció de múltiples variables independents no necessita d'una definició específica separada de la de funció «ordinària». La generalitat de la definició anterior, en la qual es contempla que el domini siga un conjunt d'«objectes matemàtics arbitraris», permet ometre l'especificació de dos o més conjunts de variables independents, $A_{1}$ i $A_{2}$ , per eixemple. En lloc d'això, el domini es pren com el conjunt de les parelles $(a_{1}, a_{2})$ , en primer component en $A_{1}$ i segon component en $A_{2}$ . Este conjunt es denomina el producte cartesià de $A_{1}$ i $A_{2}$ , i es denota per $A_{1} \times A_{2}$ . D'esta manera les dos variables independents queden reunides en un sol objecte. Per eixemple, en el cas de la funció $T$ , el seu domini és el conjunt $ℝ^{+} \times ℝ^{+}$ , el conjunt de parelles de números reals positius. En el cas de més de dos variables, la definició és la mateixa, usant un conjunt ordenat de múltiples objectes, $(a_{1}, ..., a_{n})$ , una n-tupla. També el cas de múltiples variables depenents es contempla d'esta manera. Per eixemple, una funció divisió pot prendre dos números naturals com a valors d'entrada (dividend i divisor) i donar dos números naturals com a valors d'eixida (quocient i restant). Es diu llavors que esta funció té com a domini i codomini el conjunt $ℕ \times ℕ$ .

Notació i Nomenclatura

La notació habitual per a presentar una funció $f$ en domini $A$ i codomini $B$ és:

També es diu que $f$ és una funció «de $A$ a $B$ ». El domini d'una funció $f$ es denota també per $d o m (f), D (f), D f$ , etc. Per $f (a)$ es resumix l'operació o regla que permet obtindre l'element de $B$ associat a un cert $a \in A$ , denominat l'image d' $a$ .

Eixemples

La funció «gaveta» pot denotar-se ara com $f : ℝ \to ℝ$ , con $f (x) = x^{3}$ per a cada número real $x$ .
La funció «invers» és $g : ℝ - {0} \to ℝ$ , en $g (x) = x^{- 1}$ per a cada $x$ real i no nul.
La funció «àrea» es pot denotar com $A : T \to R$ , i llavors $A (t) = B \times \frac{H}{2}$ , a on $t$ és un triàngul del plà, $B$ la seua base, i $H$ la seua altura. La notació utilisada pot ser un poc més laxa, com per eixemple $f (n) = \sqrt{n}$ . En dita expressió, no s'especifica quins conjunts es prenen com a domini i codomini. En general, estos vindran donats pel context en el qual s'especifique dita funció. En el cas de funcions de vàries variables (dos, per eixemple), l'image del parell $(a_{1}, a_{2})$ no es denota per $f ((a_{1}, a_{2}))$ , sino per $f (a_{1}, a_{2})$ , i similarment per a més variables. Existixen ademés terminologies diverses en distintes branques de la matemàtica per a referir-se a funcions en determinats dominis i codominis:
Funció real: $f : ℝ \to ℝ$
Función compleja: $f : ℂ \to ℂ$
Función escalar: $f : ℝ^{n} \to ℝ$
Función vectorial: $f : ℝ^{n} \to ℝ^{m}$

També les successions infinites d'elements tals com $a, b, c, ...$ són funcions, el domini de les quals en este cas són els números naturals. Les paraules «funció», «aplicació», «mapage», o unes atres com a «operador», «funcional», etc., poden designar tipos concrets de funció segons el context. Adicionalment, alguns autors restringixen la paraula «funció» per al cas en el que els elements del conjunt inicial i final són números.^[9]

Image i image inversa

Els elements del codomini $B$ associats en algun element del domini $A$ constituïxen l'image de la funció. L'image d'una funció $f$ es denota per $Im (f)$ o $f (A)$ , mentres que l'image d'un subconjunt $X \subseteq A$ es denota, a la seua volta, per $f (X)$ o $f [X]$ . En notació conjuntista les imàgens de $f$ i $X$ es denoten:

La anti-image de cada partit és el conjunt dels electors que ho varen votar.

L'image d'una funció f és un subconjunt del codominio de la mateixa, pero no són necessàriament iguals: poden existir elements en el codominio que no són l'image de cap element del domini, és dir, que no tenen preimagen. Aixina, la preimagen d'un element del codominio pot no contindre cap objecte o, pel contrari, contindre un o més objectes, quan a un o varis elements del domini se'ls assigna dit element del codominio. En notació conjuntista, s'escriuen:

Eixemples

L'image de la funció cub f és tot $ℝ$ , ya que tot número real posseïx una arrel cúbica real. En particular, les arrels cúbiques dels números positius (negatius) són positives (negatives), per lo que es té, per eixemple, $f^{- 1} (ℝ^{+}) = ℝ^{+}$
El recorregut de la funció invers g no és igual al seu codomini, ya que no hi ha cap número real x l'invers del qual siga 0.
Per a la funció «classificació en gèneros» γ es té:

γ(Perro) = Canis, y γ⁻¹(Canis) = {Perro, coyote, chacal,...}.

Com l'àrea és sempre un número positiu, el recorregut de la funció àrea A és $ℝ^{+}$ .
En el diagrama pot comprovar-se que l'image de la funció vote v no coincidix en el codominio, ya que el partit C no va rebre cap vot. No obstant pot vore's que, per eixemple, v⁻¹(Partit A) té 2 elements.

Igualtat de funcions

Donades dos funcions, per a que siguen idèntiques han de tindre el mateix domini i codominio, i assignar la mateixa image a cada element del domini:

Funcions inyectives, sobreyectives i biyectives

Artícul principal → Funció inyectiva.

L'image inversa d'un element del codominio pot ser buida, o contindre varis objectes del domini. Açò dona lloc a la següent classificació:

Funcions

Inyectiva

No inyectiva

Sobreyectiva


Biyectiva

No sobreyectiva

Les funcions inyectives no repetixen les imàgens: si b = f(a), cap atre a' té per image a b, per lo que la anti-image d'este últim solament conté a l'element a. Les funcions suprayectives recorren tot el codominio, per lo que cap anti-image pot estar buida. La definició de funció suprayectiva assumix que esta té un codominio especificat prèviament. De lo contrari, la noció de suprayectividad no té sentit. Quan una funció té abdós propietats al mateix temps, es diu que és una biyecció entre abdós conjunts:

Una funció f : A → B es diu biyectiva si és inyectiva i suprayectiva.

Les funcions biyectives constituïxen un «emparejamiento perfecte» entre els elements del domini i el codominio: cada element en A té una única «parella» en B —com totes les funcions—, i a cada element de B li correspon un solament en A —a lo manco un per ser suprayectiva, i com molt un per ser inyectiva—.

Eixemples

La funció cub $f : ℝ \to ℝ$ és biyectiva. És inyectiva perque dos números reals que tenen el mateix cub són idèntics, i és sobreyectiva perque $I m (f) = ℝ$ .
La funció «invers» $g : ℝ ∖ 0 \to ℝ$ és inyectiva, ya que l'invers de cada número real no nul és únic (1/x = 1/y implica necessàriament que x = y). No obstant no és sobreyectiva, atés que $I m (g) = ℝ ∖ 0 .$
La funció de classificació de mamífers γ: M → G no és inyectiva, ya que hi ha mamífers distints en el mateix gènero (per eixemple, γ(Yak) = γ(Bou) = Bos). No obstant sí és suprayectiva, ya que en cada gènero de mamífers hi ha classificada a lo manco una espècie de mamífers.
La funció àrea A: T → R no és sobreyectiva, ya que Im(A) = R⁺. Tampoc és inyectiva, ya que poden construir-se en facilitat triànguls distints en la mateixa àrea.
En l'image poden vore's varis eixemples de funcions entre un conjunt de pinzells P i un conjunt de cares C.

Àlgebra de funcions

En les funcions pot realisar-se una operació de composició en propietats similars a les de la multiplicació.

Composició de funcions

La composició g ∘ f actua sobre l'objecte x transformant-ho segons f, i despuix transformant f(x) per mig de g.

Artícul principal → Composició de funcions.

Donades dos funcions, baix certes condicions podem usar els valors d'eixida d'una d'elles com a valors d'entrada per a l'atra, creant una nova funció. És dir, la composició g ∘ f fa actuar primer la funció f sobre un element de A, i despuix g sobre l'image que s'obtinga:

La condició Im(f) &puja; C assegura precisament que este segon pas es puga portar a terme.

Eixemples

L'image de la funció «invers» g és R {0} —lloc que tot número real no nul és l'invers d'un atre—, i per tant està contingut en el domini de la funció gaveta f, que és R. La composició f ∘ g: R {0} → R actua llavors com a f(g(x)) = f(1/x) = (1/x)³ = 1/x³.
Donades les funcions reals $h_{1} : ℝ \to ℝ$ i $h_{2} : ℝ \to ℝ$ donades per $h_{1} (x) = x^{2}$ i $h_{2} (x) = x + 1$ , pot prendre's la composició en abdós ordes, h₁ ∘ h₂ i h₂ ∘ h₁. No obstant, són funcions distintes, ya que:

(h_{1} \circ h_{2}) (x) = h_{1} (h_{2} (x)) = h_{1} (x + 1) = (x + 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1

, i

(h_{2} \circ h_{1}) (x) = h_{2} (h_{1} (x)) = h_{2} (x^{2}) = x^{2} + 1

La funció γ que classifica els mamífers en gèneros pot compondre's en la funció ω: G → Or que classifica els gèneros de mamífers en órdens —que formen el conjunt Or—. La funció ω ∘ γ assigna a cada mamífer la seua orde:

(ω ∘ γ)(Humà) = ω(Homo) = Primat, (ω ∘ γ)(Guanac) = ω(Llepe) = Artiodactyla

Funció identitat

Artícul principal → Funció identitat.

En qualsevol conjunt pot definir-se una funció identitat, que tenint com a domini i codominio al propi conjunt, associa cada element conseguixc mateix.

Dau un conjunt A, la funció identitat de A és la funció aneu_A : A → A que a cada a ∈ A li associa aneu_A(a) = a.

També es denota com a I_A. La funció identitat actua com un element neutre en compondre funcions, ya que no «fa res». La funció única sobre un conjunt X que assigna cada element a sí mateixa es denomina funció d'identitat per a X i, típicament, s'indica en idX. Cada conjunt té la seua pròpia funció d'identitat, per lo que el subíndex no pot ometre's a menos que el conjunt puga deduir-se del context. baix composició, una funció d'identitat és «neutral»: si f és qualsevol funció de X a I, llavors:

És dir, donat un element x ∈ A, es té que:

Funció inversa

Artícul principal → Funció inversa.

Una funció pot tindre inversa, és dir, una atra funció que en compondre-la en ella resulte en l'identitat, de la mateixa manera que un número multiplicat pel seu invers dona 1. No totes les funcions són invertibles, sino que solament aquelles que siguen biyectives posseïxen inversa:

Tota funció biyectiva f és invertible, i la seua inversa f⁻¹ és biyectiva a la seua volta. Recíprocamente, tota funció invertible f és biyectiva.

La notació per a funcions inverses pot ser confusa. Per a un element del codominio b, f⁻¹(b) pot denotar tant la anti-image de b (un subconjunt del domini), com a l'image de b per la funció inversa de f (un element del domini), en el cas de que f siga invertible.

Eixemples.

La funció «exponencial» $h : ℝ \to ℝ$ , que asocia a cada número real su exponencial, $h (x) = e^{x}$ , no és invertible, ya que no és suprayectiva: cap número negatiu pertany a l'image de h.
Existix una funció que calcula el canvi entre dos divises. En el cas del canvi de rúpies a quetzals (les monedes de l'Índia i Guatemala), la conversió està donada (en 2011) per:
Q(r) = 0,15 × r
Esta funció de canvi té inversa, la conversió recíproca de quetzals a rúpies:
R(q) = 6,65 × q
La funció gaveta f(x) = x³ és invertible, ya que podem definir la funció inversa per mig de la raïl cúbica, f⁻¹(x) = ³√x.
La funció de classificació en gèneros γ: M → G no és invertible, ya que no és inyectiva, i per a cada gènero poden existir varis mamífers classificats en ell.
La funció que assigna a cada dia de la semana el seu següent té per inversa la funció que assigna a cada dia de la semana el seu antecessor:

Dilluns → Dumenge, Dimarts → Dilluns,..., Dumenge → Dissabte

Restricció i extensió

Artícul principal → Restricció d'una funció.

La funció que assigna a cada dòna de l'electorat el seu vot és una restricció de la funció que a cada membre de l'electorat li assigna el seu vot.

La restricció d'una funció donada és una atra funció definida en una part del domini de l'original, pero que «actua igual» que esta. Es diu també que la primera és una extensió de la segona. Informalmente, una restricció d'una funció f és el resultat de retallar el seu domini. De manera més precisa, si S és un subconjunt de X, la restricció de f a S és la funció f | S de S a I tal que f | S (s) = f (s) per a tot s en S. Si g és a Restricció de f, llavors es diu que f és una extensió de g. La restricció d'una funció f: A → B a un subconjunt C &puja; A es denota per f|_C.

Representació de funcions

Artícul principal → Representació gràfica d'una funció.

Artícul principal → Taula matemàtica.

Les funcions es poden presentar de distintes maneres:

usant una relació matemàtica descrita per mig d'una expressió matemàtica: equacions de la forma $y = f (x)$ . Quan la relació és funcional, és a dir satisfà la segona condició de la definició de funció, es pot definir una funció que es diu definida per la relació. A menys que s'indique lo contrari, es supon en tals casos que el domini és el major possible (respecte a inclusió) i que el codomini són tots els Reals. El domini seleccionat es diu el domini natural, de la funció.

Eixemple: y=x+2. Domini natural és tots els reals.

Eixemple: «per a tot x, número enter, y val x més dos unitats».

Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.

Eixemple:

\begin{matrix} X & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ Y & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{matrix}

Com a parells ordenats: parells ordenats, molt usats en teoria de grafos.

Eixemple: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3),... (x, x+2)}

Com gràfica: gràfica que permet visualisar les tendències en la funció. Molt utilisada per a les funcions contínues típiques del càlcul, encara que també les hi ha per a funcions discretes.

Eixemple:

5						X
4					X
3				X
2			X
1		X
0	X
i / x	-2	-1	0	1	2	3

Espais de funció

Vore també: Espai funcional i Anàlisis funcional

En anàlisis matemàtic, en específic en anàlisis funcional, és un conjunt de funcions d'un conjunt X a un conjunt I, d'una classe donada. Es diu un espai perque en la majoria de les aplicacions, és un espai topològic o un espai vectorial. El conjunt de totes les funcions des d'un conjunt X a un conjunt I es denota X -> I, per [X -> I] o per I^X. Esta última notació està motivada pel fet de que quan X i I són finitos i de tamany |X| i |I| llavors el número de funcions de X -> I és |I^X| = |I|^|X| Est és un eixemple de la convenció de la combinatòria enumerativa que proporciona anotacions per a conjunts basats en els seus cardinalidades. Si X és infinit i hi ha més d'un element en I llavors hi ha innumerables funcions de X a I, encara que solament contablemente moltes d'elles poden expressar-se en una fòrmula o un algoritme.

Curtiendo (Currying)

Un enfocament alternatiu per a manejar funcions en múltiples arguments és transformar-les en una cadena de funcions que cada una pren un sol argument. Per eixemple, es pot interpretar Add (3,5) per a significar "produir primer una funció que afig 3 al seu argument, i despuix aplicar la funció 'Sumar 3' a 5". Esta transformació es diu currying: Add 3 és curry (Add) aplicat a 3. Hi ha una biyecció entre els espais de funció CA × B i (CB) A. Quan es treballa en funcions en curry, és habitual usar la notació de prefix en l'aplicació de funció considerada associativa a l'esquerra, ya que la yuxtaposició de múltiples arguments —com en f(x, i)— normalment es correlaciona en l'evaluació d'una funció curry. Pel contrari, els símbols → i "llaure" es consideren associatius a la dreta, de modo que les funciones curry poden definir-se per mig d'una notació com a f: ℤ → ℤ → ℤ = x ⟼ i ⟼ x · i.

Vore també

Referències

↑ «[1]». Consultat el 28 de giner de 2018 (en és-ÉS).
↑ Esta secció està basada en Pedro Posa't, J.«The history of the concept of function and some educational implications».The Mathematics Educator.3(2)Consultat el 10 de decembre de 2011.
↑ Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All, The Mathematical Association of America, pp. org/details/eulermasterusall00dunh_750/page/n4317.
↑ (1995).«Disquisitiones Arithmeticae».
↑ Howard Eves (1990). Foundations and Fonamental Concepts of Mathematics, 3.ª edició, Dover, p. org/details/foundationsfunda0000eves/page/235235. ISBN 0-486-69609-X.
↑ Dorronsoro, Jorge; Hernández, {{{nom2}}} (1996). Números, grups i anells, Adison-Wesley Iberoamericana. ISBN 0-201-65395-8.
↑ Sobre la diferència entre abdós definicions, vejau per eixemple Forster, Thomas (2003). «§1.3. Notation for sets and relations», (en anglés), Cambridge University Press. ISBN 9780521533614.
↑ (1993) Gran enciclopèdia temàtica Plaça, 2 edició, Plaça & Janés Editors, S. A., p. 74. ISBN 978-84-01-61659-4.
↑ (6 de 2011) Diccionari essencial de matemàtiques, VOX, p. 15. ISBN 978-84-9974-001-0.

Bibliografia

Dorronsoro, Jorge; Hernández, {{{nom2}}} (1996). Números, grups i anells, Adison-Wesley Iberoamericana. ISBN 0-201-65395-8.

Enllaços externs

Commons

Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre funcions.
wolfram. com/The Wolfram Functions Site. Archiu de funcions matemàtiques.
com/? lang=esFooPlot [2] archivat en Wayback Machine.. Graficador de funcions matemàtiques.
archive. org/web/20120217215058/http://www. astroseti. org/articulo/4379/ Història del concepte de funció. Artícul traduït de MacTutor History of Mathematics archive.

Este artícul conté una traducció derivada de «Función (matemática)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] «[1]». Consultat el 28 de giner de 2018 (en és-ÉS).

[2] Esta secció està basada en Pedro Posa't, J.«The history of the concept of function and some educational implications».The Mathematics Educator.3(2)Consultat el 10 de decembre de 2011.

[3] Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All, The Mathematical Association of America, pp. org/details/eulermasterusall00dunh_750/page/n4317.

[4] (1995).«Disquisitiones Arithmeticae».

[5] Howard Eves (1990). Foundations and Fonamental Concepts of Mathematics, 3.ª edició, Dover, p. org/details/foundationsfunda0000eves/page/235235. ISBN 0-486-69609-X.

[6] Dorronsoro, Jorge; Hernández, {{{nom2}}} (1996). Números, grups i anells, Adison-Wesley Iberoamericana. ISBN 0-201-65395-8.

[7] Sobre la diferència entre abdós definicions, vejau per eixemple Forster, Thomas (2003). «§1.3. Notation for sets and relations», (en anglés), Cambridge University Press. ISBN 9780521533614.

[8] (1993) Gran enciclopèdia temàtica Plaça, 2 edició, Plaça & Janés Editors, S. A., p. 74. ISBN 978-84-01-61659-4.

[9] (6 de 2011) Diccionari essencial de matemàtiques, VOX, p. 15. ISBN 978-84-9974-001-0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]