Taula matemàtica

Taula matemàtica

Les taules matemàtiques són llestes numèriques que mostren els resultats d'un càlcul determinat en diferents arguments d'entrada. Taulas de funcions trigonomètriques ya es varen usar en l'antiga Grècia i Índia per a aplicacions com l'astronomia i la navegació. Varen continuar sent àmpliament utilisades fins que les calculadores electròniques es varen fer assequibles a partir de la segona mitat de el XX, lo que va permetre simplificar i accelerar espectacularment numeroses tasques de computació. Fins a llavors, les taules de logaritmes i de funcions trigonomètriques eren comunes en els llibres de text de matemàtiques i ciències, i es publicaven taules especialisades per a numeroses aplicacions.

Història i us

Les primeres taules de funcions trigonomètriques conegudes se sap que varen ser realisades per Hiparco de Nicea (c.190 - c.120 a. C.) i Menelao d'Aleixandria (c.70-140), pero abdós s'han perdut. Junt en la Taula de cordes de Ptolomeo (c. 90 - c.168) que sí s'ha conservat, totes eren taules d'ànguls i de les seues cordes completes corresponents (i no de miges cuerdo, equivalents a la funció sen). La taula de Āryabhaṭa (476-550), un matemàtic indi, es considera la primera taula de sens, i va aplegar a convertir-se en la principal ferramenta de càlcul trigonométrico en l'antiga Índia durant casi mil anys. Va haver continus intents de millorar la precisió d'esta taula, que varen culminar en el descobriment de les denominades séries de Madhava para les funciones sen i coseno (descobertes per Madhava de Sangamagrama (c.1350-c.1425)), i la confecció de la denominada taula de sens de Madhava en valors precisos de sèt o huit decimals.

Fins a l'invenció de les computadores i les calculadores electròniques, es varen usar habitualment les taules de logaritmes decimals per a fer multiplicacions, divisions i exponenciaciones ràpides, inclosa l'extracció de raïls enèsimes.

Va haver diversos intents en el XIX de desenrollar computadores mecàniques de propòsit especial (conegudes com màquines diferencials), dissenyades per a tabular aproximacions polinòmiques de funcions logarítmiques, en el propòsit de calcular automàticament taules logarítmiques de gran precisió. Estos intents varen ser motivats principalment pels errors relativament freqüents que apareixien en les taules logarítmiques realisades manualment pels calculistas humans de l'época. Les primeres computadores digitals es varen desenrollar durant la Segona Guerra Mundial, en part per a produir taules matemàtiques especialisades per a la punteria de les armes d'artilleria. A partir de 1972, en el llançament i l'us creixent de calculadores científiques, la majoria de les taules matemàtiques varen deixar d'usar-se.

Un dels últims esforços importants per a construir tals taules va ser el Proyecte de Taules Matemàtiques que va començar en 1938 com una iniciativa de la Administració de Progrés de Treballs (WPA), que amprava a 450 treballadors per a tabular funcions matemàtiques superiors. Va durar fins a la Segona Guerra Mundial.  

Encara s'usen taules d'algunes funcions especials. Per eixemple, l'us de taules de valors de la funció de distribució acumulativa de la distribució normal, les cridades taules normals estàndart, seguix sent comú hui en dia, especialment en les escoles.

La creació de taules almagasenades en la memòria d'accés aleatori és una tècnica d'optimisació de còdic comú en la programació de computadores, a on l'us de tals taules accelera els càlculs en aquells casos en que la busca de taules és més ràpida que els càlculs corresponents (particularment si la computadora en qüestió no els realisa directament). En essència, es obté velocitat de càlcul a canvi de l'espai de memòria en la computadora requerit per a almagasenar les taules.

Taules de logaritmes

Una pàgina del Logarithmorum Chilias Primera (1617) d'Henry Briggs, que mostra el logaritme de base 10 (comuna) dels sancers de 0 a 67 en catorze sifres decimals.

Partix d'una taula de logaritmes comunes de el XX en el llibre de referència de Milton Abramowitz i Irene Stegun

Erro al crear miniatura:

Una pàgina d'una taula de logaritmes de funcions trigonomètriques del American Practical Navigator (2002). S'inclouen columnes de diferències per a facilitar l'interpolació

Abans de l'arribada de les calculadores electròniques i de les computadores, les taules que contenen logaritmes comunes (base 10) es varen usar àmpliament en els càlculs perque els logaritmes convertixen els problemes de multiplicació i divisió en problemes de suma i resta, que són molt més fàcils de resoldre. Els logaritmes de base 10 tenen una propietat adicional que és única i útil: el logaritme comú de números majors que un que diferixen solament per un factor de potència de dèu tenen la mateixa part fraccional, coneguda com a mantissa. Les taules de logaritmes comunes típicament incloïen solament les mantissa; la part sancera del logaritme, coneguda com la característica, podia determinar-se fàcilment contant dígits en el número original. Un principi similar permet el càlcul ràpit de logaritmes de números positius menors que 1. Per lo tant, es pot usar una sola taula de logaritmes comunes per a tot el ranc de número decimal positius. En l'artícul dedicat al logaritme comú figuren detalls sobre l'us de característiques i mantissa.

Història

En 1544, el matemàtic alemà Michael Stifel va publicar en idioma llatí Arithmetica integra, que conté una taula de sancers i potències de 2 que s'ha considerat una versió primitiva d'una taula logarítmica.

El método de logaritmes va ser publicat per John Napier en 1614, en un llibre titulat Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descripció de la maravellosa regla dels logaritmes). El llibre contenia cincuenta y siete pàgines de material explicatiu i noranta pàgines de taules relacionades en els logaritmes naturals. El matemàtic anglés Henry Briggs qui va completar una traducció a l'anglés d'eixa obra en 1615 va visitar a Napier eixe any i va propondre aplicar una nova escala als logaritmes neperianos, per a formar lo que ara es coneix com logaritmes comuns o de base 10. Napier va delegar a Briggs el càlcul d'una taula revisada. En 1617, a partir de dita taula, Briggs va publicar Logarithmorum Chilias Primera ("Els primers mil logaritmes"), que incloïa una breu descripció dels logaritmes i una taula per als primers 1000 sancers calculats fins al catorzé lloc decimal.

Va ser tal l'increment de la potència de càlcul disponible a través dels logaritmes comuns, de l'invers dels números potenciats o de la notació exponencial, que va fer que els càlculs a mà foren molt més ràpits.