Taula de sens de Madhava

Archiu:Madhava sine tabe in Devanagari. caps block 0

Figura 1. La taula de sens de Madhava en idioma sánscrito escrit en caràcters Devanagari

La taula de sens de Madhava, és la taula de sens trigonométricos composta en el XIV pel matemàtic i astrònom indi de l'escola de Kerala, Madhava de Sangamagrama. La taula enumera els jya o Rsenos de vintiquatre ànguls que són múltiples de 3,75° fins a 90,00°, en passos de 3,75° (1/24 d'un àngul recte de 90°). El Rseno és el sen multiplicat per un radi seleccionat ($R$) i presentat com a número entero. En esta taula, com en la taula de sens de Āryabhaṭa, $R$ es pren com $\frac{21600}{2\pi }\approx 3437,75$

La taula està codificada en les lletres del alfabet Devanagari, en idioma sánscrito usant el sistema Katapayadi. Açò li dona a les entrades de la taula l'apariència dels versos d'un poema.

Encara no s'ha trobat el treball original de Madhava que conté la taula de sens, que apareix reproduïda en el Aryabhatiyabhashya de Nilakantha Somayaji (1444-1544) i també en el comentari Yuktidipika/Laghuvivrti del Tantrasamgraha, escrit per Sankara Variar (circa. 1500-1560).

La taula

L'image anexa a este artícul mostra la taula de sens de Madhava reproduïda en l'obra de C. K. Raju titulada "Cultural Fundations of Mathematics" (Fonaments culturals de les matemàtiques). Les primeres dotze llínees constituïxen les entrades en la taula. L'última paraula en la tretzena llínea indica que es corresponen "segons lo dit per Madhava" (vore la Figura 1 de l'artícul).

Una forma senzilla d'entendre la taula.

Sense entrar en la raó de per qué es va elegir el valor de $R\approx 3437,75$, la forma més senzilla de relacionar les taules de jyas en el nostre concepte modern de taules de sens és que, hui en dia, els sens de les taules es donen com a decimals en certa precisió. Si $\sin (15^{\circ })$ es dona com 0,1736, significa que l'número racional $\frac{1736}{10000}$ és una bona aproximació de l'número real de precisió infinita. Les úniques diferències són que els números s'expressen en paraules (lloc que no es varen usar sifres aràbigues orientals) i que, anteriorment no havia segut estandardisat el sistema de numeració decimal per a les fraccions. D'ahí que utilisara per a expressar les cantitats el sistema sexagesimal, vigent llavors en l'Índia. Per lo tant, els valors dels sens representats en les taules poden prendre's simplement com una aproximació dels valors sancers daus dividits pel valor de $R$ elegit per a la taula.

Un atre possible punt de confusió és l'us de mides d'ànguls com a minuts d'arc, etc. en expressar els Rsenos. Els sens moderns són raons sense unitats. Els Jyas o Rsenos són sens multiplicats per una mida de llongitut o distància. No obstant, ya que estes taules es varen utilisar principalment per a astronomia i la distància en l'esfera celest s'expressa en mides d'ànguls, estos valors també es donen de la mateixa manera. No obstant, l'unitat no és realment important i no és necessari prendre-la massa en sério, ya que de tots modos el valor s'utilisarà com a part d'un racional i l'unitat es cancelarà.

No obstant, açò també du a l'us de subdivisions sexagesimals en el refinament de Madhava de la taula anterior de Aryabhata. En lloc d'elegir un valor de $R$ més gran, va donar la precisió adicional determinada per ell, ademés dels minuts donats anteriorment usant segons i sexagèsimes de segon. Com abans, estos poden prendre's simplement com una forma diferent d'expressar fraccions i no necessàriament com a mides d'ànguls.

Vore també

• Séries de Madhava
• Terme de correcció de Madhava
• Taula de sens de Aryabhaṭa
• Taula de cordes de Ptolomeo