Terme de correcció de Madhava

Plantilla:Caixa pi

El terme de correcció de Madhava és una expressió matemàtica atribuïda a Madhava de Sangamagrama (c. 1340 – c. 1425), el fundador de l'escola d'astronomia i matemàtiques de Kerala, que s'utilisa per a donar una millor aproximació al valor de la constant matemàtica π (pi) en comparació als resultats parcials obtinguts en truncar la série infinita de Madhava-Leibniz para π.

La série infinita de Madhava-Leibniz para π és:

\frac{π}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots

Prenent la suma parcial dels primers $n$ térmens, tenim la següent aproximació a π:

\frac{π}{4} \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots + (- 1)^{n - 1} \frac{1}{2 n - 1}

Representant el terme de correcció de Madhava per $F (n)$ , tenim la següent milloria en l'aproximació a π:

\frac{π}{4} \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots + (- 1)^{n - 1} \frac{1}{2 n - 1} + (- 1)^{n} F (n)

A Madhava s'han atribuït tres expressions diferents com a possibles valors de $F (n)$ , les quals són:

F_{1} (n) = \frac{1}{4 n}

F_{2} (n) = \frac{n}{4 n^{2} + 1}

F_{3} (n) = \frac{n^{2} + 1}{4 n^{3} + 5 n}

En els escrits existents dels matemàtics de l'escola de Kerala hi ha algunes indicacions sobre cóm s'han obtingut els térmens de correcció $F_{1} (n)$ i $F_{2} (n)$ , pero no hi ha indicacions sobre cóm s'ha obtingut l'expressió $F_{3} (n)$ . Açò ha donat lloc a una gran cantitat de treball d'especulació sobre cóm es podrien haver derivat les fòrmules.

Térmens de correcció tal com apareixen en els texts de Kerala

Les expressions per a $F_{2} (n)$ i $F_{3} (n)$ es donen explícitament en el Yuktibhasha, un important tractat sobre matemàtiques i astronomia escrit per l'astrònom indi Jyesthadeva de l'escola de matemàtiques de Kerala al voltant de 1530, pero que per a $F_{1} (n)$ apareix allí solament com un pas en la demostració que conduïx a la derivació de $F_{2} (n)$ .^[1]^[2]

El comentari Yuktidipika–Laghuvivrthi de Tantrasangraha, un tractat escrit per Nilakantha Somayaji, un astrònom i matemàtic pertanyent a l'escola d'astronomia i matemàtiques de Kerala i completat en 1501, presenta el segon terme de correcció $F_{2} (n)$ en els següents versos (Capítul 2: Versos 271–274): ^[3]^[1]

Archiu:Madhava Correction Terms 1 and 2.jpg

Traducció a l'espanyol dels versos: ^[3]

"Al diàmetro multiplicat per 4 se li sumen i resten alternativament en orde el diàmetro multiplicat per 4 i dividit separadament pels número impar 1, 3, 5, etc. Aquell número impar en el que termine este procés, quatre voltes el diàmetro deu multiplicar-se pel següent número par, dividir-se per la mitat i [després] dividir-se per un afegitó a eixe número [parell] elevat al quadrat. El resultat se sumarà o restarà segons s'haja restat o sumat l'últim terme. Aixina s'obté la circumferència en més exactitut de la que s'obtindria seguint eixe procés".

En notació moderna açò s'expressa de la següent manera (a on

d

és el diàmetro del círcul):

Circumferència

= 4 d - \frac{4 d}{3} + \frac{4 d}{5} - \dots \pm \frac{4 d}{p} \mp \frac{4 d (p + 1) / 2}{1 + (p + 1)^{2}}

Si establim $p = 2 n - 1$ , l'últim terme en el costat dret de l'equació anterior es reduïx a $4 d F_{2} (n)$ .

El tercer terme de correcció $F_{3} (n)$ en els següents versículs (Capítul 2: Versículs 295–296):

Archiu:Madhava Correction Term 3.jpg

Traducció a l'espanyol dels versos: ^[3]

"Un método més sotil, en una atra correcció. [Conservar] el primer procediment que consistix en dividir quatre voltes el diàmetro pels número impar 1, 3, 5, etc. [Pero] després sumar-ho o restar-ho [quatre voltes el diàmetro] multiplicat per un sumat al següent número par reduït a la mitat i al quadrat, i dividit per un sumat a quatre voltes el multiplicador precedent [en este] multiplicat per l'número par reduït a la mitat".

En notació moderna, açò es pot expressar de la següent manera:

Circunferencia = 4 d - \frac{4 d}{3} + \frac{4 d}{5} - \dots \pm \frac{4 d}{p} \mp \frac{4 d m}{(1 + 4 m) (p + 1) / 2},

a on el "multiplicador" $m = 1 + {((p + 1) / 2)}^{2} .$ Si posem $p = 2 n - 1$ , l'últim terme en el costat dret de l'equació anterior, es reduïx a $4 d F_{3} (n)$ .

Noves séries de π usant els térmens de correcció de Madhava

Sankara Variar (un estudiant de Jyesthadeva en l'escola de Kerala, i a qui se li descriu com un "brahmán de la casa Parakroda") en la seua obra "Tantrasangraha-vyākhyā o també cridada Yuktidipika-Lauhgvrtvi (1534 d. C)" menciona i utilisa les primeres tres aproximacions racionals parcials del terme de correcció de Madhava $F_{1} (n); F_{2} (n); F_{3} (n)$ per a transformar la série original de Madhava-Leibniz, en noves séries que conseguixquen convergir més ràpidament a π. Les noves séries són les següents:^[1]

Série per a $F_{1} (n)$ = $\frac{1}{4 n}$ .

El vers del Yuktidipika-Laghuvivrtti que afirma el següent resultat, és est: ([22], capítul II, versícul 290)^[1]

Archiu:Madhava series modified using the first partial approximation of his correction term.jpg

Traducció a l'espanyol:

"4 voltes el diàmetro es dividix per les gavetes dels número impar, començant per 3 i disminuïts per estos mateixos números, per a aixina obtindre els cocients separats. Al triple del diàmetro, se sumen i resten alternativament [els cocients], per a obtindre aixina la circumferència".

En notació moderna, açò es pot expressar de la següent forma (on "d" és el diàmetro del círcul):

$π d = c i r c u n f e r e n c i a = 3 d + \frac{4 d}{3^{3} - 3} + \frac{4 d}{5^{3} - 5} - \frac{4 d}{7^{3} - 7} + \dots =$

$= 3 d + 4 d \sum_{n = 2}^{\infty} [\frac{(- 1)^{n}}{(2 n - 1)^{3} - (2 n - 1)}]$

Série per a $F_{2} (n)$ = $\frac{1}{4 n + \frac{1}{n}}$ = $\frac{n}{4 n^{2} + 1}$ .

El vers del Yuktidipika-Laghuvivrtti que afirma el següent resultat, és est: ([22], capítul II, versícul 287-188)^[1]

Archiu:Madhava series modified using the second partial approximation of his correction term.jpg

Traducció a l'espanyol:

"Les potències quintes dels número impar [1, 3, 5, etc] es multipliquen per quatre; 16 voltes el diàmetro es dividix successivament per tots els números aixina obtinguts; els resultats [de la divisió] de ranc impar se sumen i els de ranc parell es resten. Obtenint aixina la circumferència corresponent al diàmetro".

En notació moderna, açò es pot expressar de la següent manera (on "d" és el diàmetro del círcul):

$π d = c i r c u n f e r e n c i a = \frac{16 d}{1^{5} + 4 \cdot 1} - \frac{16 d}{3^{5} + 4 \cdot 3} + \frac{16 d}{5^{5} + 4 \cdot 5} - \frac{16 d}{7^{5} + 4 \cdot 7} + \dots =$

$= 16 d \sum_{n = 1}^{\infty} [\frac{(- 1)^{n + 1}}{(2 n - 1)^{5} + 4 \cdot (2 n - 1)}]$

El terme de correcció complet que va aplegar a descobrir Madhava per a la seua série:

$F_{3} (n)$ = $\frac{1}{4 n + \frac{1}{n + \frac{1}{n}}}$ = $\frac{n^{2} + 1}{4 n^{3} + 5 n}$ .

No es desenrolla o siquiera discutix en algun dels texts de Kerala en la finalitat d'utilisar-ho per a transformar la série original de Madhava, i obtindre aixina una nova i millor série. En canvi, el propi Madhava llimitaria el seu us a simplement afegir-ho al final de la série original seua despuix d'haver calculat la suma parcial fins a $n = 75$ per a aixina obtindre la millor aproximació de π en la seua época (XV):^[4]

$4 \cdot [1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots + \frac{1}{2 \cdot (75) - 1} - F_{3} (75)] = 3.14159265358975...$

D'esta forma, Madhava aproxima correctament fins a tretze decimals de π. Poc despuix, el matemàtic persa Jamshid-al-Kashi, que també va viure en el XV, obtindria una aproximació semblant per mig d'un método diferent.^[5]^[4]

Vore també

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 Archive for History of Exact Sciences.18(2)
89–102.doi:10.1007/BF00348142.
↑ K. V. Sarma with explanatory notes in English by K. Ramasubrahmanyan, M. D. Srinivas, M. S. Sriram (2008). Ganita-Yukti-Bhasha of Jyeshthadeva. Volume I – Mathematics, New Delhi: Hindustan Book Agency, pp. 201–207. ISBN 978-81-85931-81-4.
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 C. K. Raju (2007). History of Science, Philosophy and Culture in Indian Civilization General Editor D. P. Chattopadhyaya Volume X Part 4. Cultural Foundations of Mathematics: The Nature of Mathematical Proof and the Transmission of the Calculus from Índia to Europe in the 16th c. CE, New Delhi: Centre for Studies in Civilizations and Dorling Kindersley (Índia) Pvt Ltd., pp. 173–174. ISBN 978-81-317-0871-2.
↑ ^4,0 ^4,1 J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2000). «Madhava of Sangamagramma». MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland.
↑ Roy, Ranjan (1990). “The Discovery of the Séries Formula for π by Leibniz, Gregory and Nilakantha”. Mathematics Magazine 63 (5): 291–306. doi:10.2307/2690896.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Término de corrección de Madhava» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Rajagopal-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 Archive for History of Exact Sciences.18(2)
89–102.doi:10.1007/BF00348142.

[Sarma-2] K. V. Sarma with explanatory notes in English by K. Ramasubrahmanyan, M. D. Srinivas, M. S. Sriram (2008). Ganita-Yukti-Bhasha of Jyeshthadeva. Volume I – Mathematics, New Delhi: Hindustan Book Agency, pp. 201–207. ISBN 978-81-85931-81-4.

[Raju-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 C. K. Raju (2007). History of Science, Philosophy and Culture in Indian Civilization General Editor D. P. Chattopadhyaya Volume X Part 4. Cultural Foundations of Mathematics: The Nature of Mathematical Proof and the Transmission of the Calculus from Índia to Europe in the 16th c. CE, New Delhi: Centre for Studies in Civilizations and Dorling Kindersley (Índia) Pvt Ltd., pp. 173–174. ISBN 978-81-317-0871-2.

[mact-biog-4] 4,0 ^4,1 J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2000). «Madhava of Sangamagramma». MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland.

[Roy1990-5] Roy, Ranjan (1990). “The Discovery of the Séries Formula for π by Leibniz, Gregory and Nilakantha”. Mathematics Magazine 63 (5): 291–306. doi:10.2307/2690896.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]