Séries de Madhava

En matemàtiques, una série de Madhava, també coneguda com una série de Leibniz és qualsevol de les séries pertanyents a una colecció d'expressions de séries infinites totes les quals es creu que varen ser descobertes per Madhava de Sangamagrama (c. 1350-c. 1425), el fundador de l'escola d'astronomia i matemàtiques de Kerala; i posteriorment per Gottfried Wilhelm Leibniz, entre uns atres. Estes expressions són els desenrolls en serie de Maclaurin de les funcions trigonométricas sen, coseno i arc tangente, i el cas especial del desenroll en série de potències de la funció arc tangente, produint una fòrmula per al càlcul de π.

Els desenrolls en séries de potències de les funciones sen i coseno es denominen respectivament serie sen de Madhava i série coseno de Madhava. La série de potències de la funció arc tangente a voltes es denomina série de Madhava-Gregory^[1]^[2] o série de Gregory-Madhava. Estes séries de potències també es denominen colectivament séries de Taylor-Madhava.^[3] La fòrmula per a π es coneix com a série de Madhava-Newton o série de Madhava-Leibniz; o també fòrmula de Leibniz per a pi, o série de Leibnitz-Gregory-Madhava.^[4] Estes denominacions adicionals per a les diverses séries reflectixen els noms dels descobridors o divulgadores occidentals de les séries respectives.

Les demostracions d'estes séries usen molts conceptes relacionats en el càlcul, com la suma, la taxa de variació i l'interpolació, lo que sugerix que els matemàtics indis tenien una comprensió sòlida del concepte de llímit i dels conceptes bàsics del càlcul molt abans de que es desenrollaren en Europa. Una atra evidència del grau d'alvanç de les matemàtiques índies, que com l'interés en les séries infinites i l'us d'un sistema decimal de base dèu també sugerix que era possible que el càlcul s'haguera desenrollat en Índia casi 300 anys abans del seu naiximent reconegut en Europa.^[5]

Cap obra conservada de Madhava conté declaracions explícites sobre les expressions que ara duen el seu nom. No obstant, en els escrits de membres posteriors de l'escola d'astronomia i matemàtiques de Kerala, com Nilakantha Somayaji i Jyeṣṭhadeva, es poden trobar atribucions inequívoques d'estes séries a Madhava. També es poden rastrejar en els treballs d'estos astrònoms i matemàtics posteriors les demostracions índies d'estos desenrolls en série, que proporcionen suficients indicacions sobre l'enfocament que Madhava havia adoptat per a aplegar als seus resultats.

A diferència de la majoria de les cultures anteriors, prou incómodes en l'idea d'infinit, Madhava es mostrava complagut de poder operar en este concepte, particularment en les séries infinites. Va demostrar cóm, encara que el número 1 es pot aproximar agregant un mig més un quarto més un octau més un dieciseisavo, etc. (com sabien inclús els antics egipcíacs i grecs), el total exacte d'1 solament es pot conseguir per mig de la suma d'infinites fraccions. Pero Madhava va ser més allà i va vincular l'idea d'una série infinita en la geometria i la trigonometria. Es va donar conte de que, en sumar i restar successivament diferents fraccions d'número impar fins a l'infinit, podia trobar una fòrmula exacta para π (açò va ser dos sigles ans que Leibniz aplegara a la mateixa conclusió en Europa).^[6]

La série de Madhava en notació moderna

En els escrits dels matemàtics i astrònoms de l'escola de Kerala, les séries de Madhava es descriuen expressades en la terminologia i els conceptes imperants en aquella época. Quan es traduïxen estes idees a les notacions i conceptes de les matemàtiques modernes, s'obtenen els equivalents actuals de les séries de Madhava. Estes versions modernes de les expressions de les seues séries infinites són les següents:

N.º	Séries	Nom	Descobridors occidentals de les séries i dates aproximades del descobriment^[7]
1	sense x = x − Plantilla:Sfrac + Plantilla:Sfrac − Plantilla:Sfrac + ...	Série del sen de Madhava	Isaac Newton (1670) i Wilhelm Leibniz (1676)
2	cos x = 1 − Plantilla:Sfrac + Plantilla:Sfrac − Plantilla:Sfrac + ...	Série del coseno de Madhava	Isaac Newton (1670) i Wilhelm Leibniz (1676)
3	arctan x = x − Plantilla:Sfrac + Plantilla:Sfrac − Plantilla:Sfrac + ...	Série de l'arc tangente de Madhava	James Gregory (1671) i Wilhelm Leibniz (1676)
4	[[Leibniz formula for π\|Plantilla:Sfrac = 1 − Plantilla:Sfrac + Plantilla:Sfrac − Plantilla:Sfrac + ...]]	Fòrmula de Madhava per a Π	James Gregory (1671) i Wilhelm Leibniz (1676)

Les séries en "Les pròpies paraules de Madhava"

No s'ha conservat cap de les obres de Madhava que continga alguna de les expressions en série que se li atribuïxen. Estes expressions figuren en els escrits dels seus seguidors de l'escola de Kerala. En numerosos escrits, estos autors han deixat constància de que les séries s'usen "segons lo dit per Madhava". Per lo tant, es pot supondre en seguritat que els enunciats de les diverses séries trobades en el Tantrasamgraha i els seus comentaris reflectixen "les pròpies paraules de Madhava". Les traduccions dels versos rellevants que figuren en el Yuktidipika, un comentari del Tantrasamgraha (també conegut com Tantrasamgraha-vyakhya) escrit per Sankara Variar (circa. 1500-1560) es reproduïxen a continuació, representats en la notació matemàtica actual.^[8]^[9]

Vore també

Referències

↑ Reference to Gregory–Madhava séries: «Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics». Consultat el 11 de febrer de 2010.
↑ Reference to Gregory–Madhava séries: Jaime Carvalho i Silva. «History of Mathematics in the classroom». Consultat el 15 de febrer de 2010.
↑ PlanetMath.org.Consultat el 10 de febrer de 2010.
↑ (2004).Consultat el 10 de febrer de 2010.
↑ TME.11(3)
↑ Allen, David (2013). How Mechanics Shaped the Modern World, illustrated edició, Springer Science & Business Media, p. 156. ISBN 978-3-319-01701-3. Extract of page 156
↑ Charles Henry Edwards (1994). The historical development of the calculus, 3 edició, Springer, p. 205. ISBN 978-0-387-94313-8.
↑ (1975).Indian Journal of History of Science.11(1)
54–57.Consultat el 11 de febrer de 2010.
↑ C.K. Raju (2007). Cultural Foundations of Mathematics : Nature of Mathematical Proof and the Transsmission of the Calculus from Índia to Europe in the 16 c. CE, New Delhi: Centre for Studies in Civilistaion, pp. 114–120. ISBN 81-317-0871-3.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Series de Madhava» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Reference to Gregory–Madhava séries: «Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics». Consultat el 11 de febrer de 2010.

[2] Reference to Gregory–Madhava séries: Jaime Carvalho i Silva. «History of Mathematics in the classroom». Consultat el 15 de febrer de 2010.

[3] PlanetMath.org.Consultat el 10 de febrer de 2010.

[4] (2004).Consultat el 10 de febrer de 2010.

[Webb_4.pdf-5] TME.11(3)

[6] Allen, David (2013). How Mechanics Shaped the Modern World, illustrated edició, Springer Science & Business Media, p. 156. ISBN 978-3-319-01701-3. Extract of page 156

[7] Charles Henry Edwards (1994). The historical development of the calculus, 3 edició, Springer, p. 205. ISBN 978-0-387-94313-8.

[8] (1975).Indian Journal of History of Science.11(1)
54–57.Consultat el 11 de febrer de 2010.

[9] C.K. Raju (2007). Cultural Foundations of Mathematics : Nature of Mathematical Proof and the Transsmission of the Calculus from Índia to Europe in the 16 c. CE, New Delhi: Centre for Studies in Civilistaion, pp. 114–120. ISBN 81-317-0871-3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]