Série de potències

En matemàtiques, una série de potencies és una série de la forma:

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - c)}^{n} = a_{0} + a_{1} (x - c)^{1} + a_{2} (x - c)^{2} + \dots

entorn de x=c, en el qual el centre és c, i els coeficients $a_{n}$ són els térmens d'una successió. Les séries de potències són útils en l'anàlisis matemàtic, a on sorgixen com a séries de Taylor de funcions infinitament diferenciables. De fet, el Teorema de Borel implica que tota série de potències és la série de Taylor d'alguna funció suau.

En ocasions, el centre c de la série és igual a zero, en lo que la série es denomina série de Maclaurin i pren la forma simple

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots .

És d'utilitat al moment de construir conjunts fonamentals de solucions per a equacions diferencials llineals de 2° orde els coeficients del qual són funcions d'una variable independent. Més allà del seu paper en l'anàlisis matemàtic, les séries de potències també apareixen en Combinatòria com Funció Generatriz (un tipo de série formal de potències) i en ingenieria electrònica (baixe el nom de la Transformada Z). La notació decimal familiar per als número real també pot considerar-se com un eixemple d'una série de potències, en coeficients sancers, pero en l'argument x fixat en 1/10. En Teoria de Números, el concepte de números p-ádicos també està estretament relacionat en el d'una série de potències.

Convergència de séries de potències

Una série de potències $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ és convergent per a alguns valors de la variable x, lo que sempre inclourà x = c (com és habitual, $(x - c)^{0}$ es considera com $1$ i la suma de la série és llavors $a_{0}$ per a $x = c$ ). La série pot divergir per a atres valors de x si c no és l'únic punt de convergència, llavors sempre hi ha un número r en 0 < r ≤ ∞ tal que la série convergix sempre que |x – c| < r i divergix sempre que |x – c| > r. El número r es diu el radi de convergència de la série de potències; en general, es dona com

$r = \underset{n \to \infty}{lim inf} {| a_{n} |}^{- \frac{1}{n}}$

o equivalentement, $r^{- 1} = \underset{n \to \infty}{lim sup} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ (açò és el Teorema de Cauchy-Hadamard; vore llímit superior i llímit inferior per a una explicació de la notació). La relació

$r^{- 1} = \lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} |$ també és satisfeta si el llímit existix.

El conjunt dels número complejo tals que |x – c| < r es diu el disc de convergència de la série. La série convergix absolutament dins del seu disc de convergència i convergix uniformemente en tot subconjunt compacte del disc de convergència.

Per a |x – c| = r, no hi ha una afirmació general sobre la convergència de la série. No obstant, el Teorema d'Abel establix que si la série convergix per a algun valor z tal que |z – c| = r, llavors la suma de la série per a x = z és el llímit de la suma de la série per a x = c + t (z – c) a on t és una variable real menor que 1 que tendix a 1.

Teorema de convergència de séries de potències

Siga $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (z - z_{0})^{n}$ série de potències, obtenim la seua representació com una série de potències convergent establint el teorema de Taylor, el qual nos diu que si $f$ és analítica en un disc obert centrat en $z_{0}$ llavors la série de Taylor de $f$ ,

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(f^{n}) (z_{0})}{n!} (z - z_{0})^{n};

convergix en el disc i és igual a $f (z)$ en tot eixe disc.^[1]

Si

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (z - z_{0})^{n}

és una série de potències, existix un únic número $R \geq 0$ , potser major a infinit $\infty$ ; cridat el ràdio de convergència, tal que si $| z - z_{0} | < R$ , la série convergix i si $| z - z_{0} | > R$ , la série divergix. Específicament la convergència és uniforme i absoluta en qualsevol disc tancat en $A = {z \in C : | z - z_{0} | < R}$ . No podem generalisar la convergència si $| z - z_{0} | = R$ .^[1]

Eixemples

Archiu:Exp series.gif

La funció exponencial (en blava), i la suma de les seues primers n+1 térmens del seu série de Maclaurin (en roig).

La série geomètrica

\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots = \frac{1}{1 - x},

és una série de potències, absolutament convergent si $| x | < 1$ i divergent si $| x | > 1$ o $| x | = 1$ i és un dels eixemples més importants d'este tipo de séries, com també ho són la fòrmula de la funció exponencial

e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots,

i la fòrmula del sen

\sin (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \dots,

vàlides per a tots els reals x. Estes séries de potències són eixemples de series de Taylor.

Vore també

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 «Jerrold E. Marsden, Michael J. Hoffman-Anàlisis Bàsic de Variable Complexa-Trillas (1996)| Funcions trigonométricas | Número complejo» (en és). Scribd. Consultat el 2022-06-26.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Serie de potencias» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Complex-1] 1,0 ^1,1 «Jerrold E. Marsden, Michael J. Hoffman-Anàlisis Bàsic de Variable Complexa-Trillas (1996)| Funcions trigonométricas | Número complejo» (en és). Scribd. Consultat el 2022-06-26.

[1]