Funció infinitament diferenciable

Archiu:Bump2D illustration.png

Una funció de protuberància és una funció suau en soport compacte

Una funció suau o infinitament diferenciable és una funció que admet derivadas de qualsevol orde, i per tant totes les seues derivades de qualsevol orde són contínues.

En anàlisis matemàtic, la suavitat d'una funció és una propietat que es medix pel número de contínua derivadas que té sobre algun domini, cridat classe de diferenciabilidad. Com a mínim, una funció pot considerar-se suau si és diferenciable en tots els llocs (per tant, contínua). En l'atre extrem, també podria posseir derivades de tots els órdens en el seu domini, en el cas del qual es diu que és infinitament diferenciable i es denomina funció C-infinita' (o funció $C^{\mathrm{\infty }}$).

Les funcions analítiques són casos particulars de funcions suaus, pero no tota funció suau és analítica. Per eixemple la funció:

És infinitament diferenciable en tots els seus punts pero no és analítica.

Classes de diferenciabilidad

Classe de diferenciabilidad és una classificació de funcions segons les propietats de les seues derivades. És una mida del major orde de derivada que existix i és contínua per a una funció.

Considerem un conjunt obert $U$ en la recta real i una funció $f$ definida en $U$ en valors reals. Siga k un sancer no negatiu. Es diu que la funció $f$ és de classe de diferenciabilidad $C^k$ si les derivades $f^{″},f^{″},\dots ,f^{(k)}$ existixen i són contínua sobre $U$. Si $f$ és $k$-diferenciable en $U$, llavors està a lo manco en la classe $C^{k-1}$ ya que $f^{\prime },f^{″},\dots ,f^{(k-1)}$ són contínues en $U$. Es diu que la funció $f$ és infinitament diferenciable, suau, o de classe $C^{\mathrm{\infty }}$, si té derivades de tots els órdens en $U$. (Aixina que totes estes derivades són funcions contínues sobre $U$.) Es diu que la funció $f$ és de classe $C^{\omega }$, o analítica, si $f$ és suau (és dir, $f$ està en la classe $C^{\mathrm{\infty }}$) i la seua expansió en série de Taylor al voltant de qualsevol punt del seu domini convergix a la funció en alguna veïnat del punt. Per tant, $C^{\omega }$ està estrictament continguda en $C^{\mathrm{\infty }}$. Les funciones de choc són eixemples de funcions en $C^{\mathrm{\infty }}$ pero no en $C^{\omega }$.

Dit d'un atre modo, la classe $C^0$ està formada per totes les funcions contínues. La classe $C^1$ consistix en totes les funcions diferenciables que la seua derivada és contínua; tals funcions es diuen contínuament diferenciables'. Aixina, una funció $C^1$ és exactament una funció que la seua derivada existix i és de classe $C^0$. En general, les classes $C^k$ poden definir-se recursivamente declarant $C^0$ com el conjunt de totes les funcions contínues, i declarant $C^k$ per a qualsevol sancer positiu $k$ com el conjunt de totes les funcions diferenciables que la seua derivada està en $C^{k-1}$. En particular, $C^k$ està continguda en $C^{k-1}$ per a cada $k>0$, i hi ha eixemples per a demostrar que esta contenció és estricta ($C^k⊊C^{k-1}$). La classe $C^{\mathrm{\infty }}$ de funcions infinitament diferenciables, és l'intersecció de les classes $C^k$ a mida que $k$ varia sobre els sancers no negatius.

Eixemples

Eixemple: Continu (C⁰) pero no diferenciable

Archiu:Caps block 3 function.svg

La funció C⁰ f(x) = x per a x ≥ 0 i 0 en cas contrari.

Archiu:X^2sin(x^-1).svg

Funció g(x) = x² sense(1/x) per a x > 0.

Archiu:The function x^2*sin(1 over x).svg

Funció $f:ℝ\to ℝ$ en $f(x)=x^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ per a $x\ne 0$ and $f(0)=0$ és diferenciable. No obstant, esta funció no és contínuament diferenciable.

Archiu:Mollifier Illustration.svg

Funció suau que no és analítica.

La funció $$f(x)=\{\begin{array}{cc}x& \text{if }x\ge 0,\\ 0& \text{if }x<0\end{array}$$ és contínua pero no diferenciable en x = 0, per lo que és de classe C⁰, pero no de classe C¹.

Eixemple: Diferenciable finitamente (C^k)

Per a cada sancer parell k, la funció $$f(x)=|x{|}^{k+1}$$ és contínua i k voltes diferenciable en tot x. En x = 0, no obstant, $f$ no és (k + 1) voltes diferenciable, per lo que $f$ és de classe C^k, pero no de classe C^j a on j > k.

Eixemple: Diferenciable pero no contínuament diferenciable (no C¹)

La funció $$g(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)& \text{si }x\ne 0,\\ 0& \text{si }x=0\end{array}$$ és diferenciable, en derivada $$g^{\prime }(x)=\{\begin{array}{cc}-\cos \left(\frac{1}{x}\right)+2x\sin \left(\frac{1}{x}\right)& \text{si }x\ne 0,\\ 0& \text{si }x=0.\end{array}$$

Degut a que $\cos (1/x)$ oscila com x. → 0, $g^{\prime }(x)$ no és contínua en zero. Per tant, $g(x)$ és diferenciable pero no de classe C¹.

Eixemple: Diferenciable pero no Lipschitz Continu

La funció $$h(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^{4/3}\sin \left(\frac{1}{x}\right)& \text{si }x\ne 0,\\ 0& \text{si }x=0\end{array}$$ és diferenciable pero la seua derivada no té llímit en un conjunt compacte. Per tant, $h$ és un eixemple de funció diferenciable pero no localment Funció lipschitziana.

Eixemple: Analítica (C^ω)

La funció exponencial $e^x$ és analítica, i per tant cau dins de la classe C^ω. Les funcions trigonométricas també són analítiques allí a on es definixen, ya que són combinacions llineals de funcions exponencials complexes. $e^{ix}$ i $e^{-ix}$.

Eixemple: Suau (C^∞) pero no analítica (C^ω)

La funció de protuberància $$f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-\frac{1}{1-x^2}}& \text{ si }|x|<1,\\ 0& \text{ en caso contrario }\end{array}$$ és suau, per lo tant de classe C^∞, pero no és analítica en x = ±1, i per lo tant no és de classe C^ω. La funció f és un eixemple de funció suau en soport compacte.

Classes de diferenciabilidad multivariante

Una funció $f:U\subset {ℝ}^n\to ℝ$ definida sobre un conjunt obert $U$ de ${ℝ}^n$ es diu que és de la classe $C^k$ sobre $U$, per a un sancer positiu $k$, si totes les derivades parcials $$\frac{{\partial }^{\alpha }f}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\partial x_2^{{\alpha }_2}\cdots \partial x_n^{{\alpha }_n}}(y_1,y_2,\dots ,y_n)$$

existixen i són contínues, per a cada ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ sancers no negatius, tals que $\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n\le k$, i cada $(y_1,y_2,\dots ,y_n)enU$. Equivalentement, $f$ és de classe $C^k$ en $U$ si la $k$-ésimo orde derivada de Fréchet de $f$ existix i és contínua en cada punt de $U$. Es diu que la funció $f$ és de classe $C$ o $C^0$ si és contínua en $U$. També es diu que les funcions de classe $C^1$ són contínuament diferenciables.

Una funció $f:U\subset {ℝ}^n\to {ℝ}^m$, definida sobre un conjunt obert $U$ de ${ℝ}^n$, es diu que és de classe $C^k$ sobre $U$, per a un sancer positiu $k$, si totes les seues components $$f_i(x_1,x_2,\dots ,x_n)=({\pi }_i\circ f)(x_1,x_2,\dots ,x_n)={\pi }_i(f(x_1,x_2,\dots ,x_n))\text{ para }i=1,2,3,\dots ,m$$ són de classe $C^k$, a on ${\pi }_i$ són les proyeccions naturals. ${\pi }_i:{ℝ}^m\to ℝ$ definida per ${\pi }_i(x_1,x_2,\dots ,x_m)=x_i$. Es diu que és de classe $C$ o $C^0$ si és contínua, o equivalentement, si totes les components $f_i$ són contínues, en $U$.

Espai de funcions C^k

Siga $D$ un subconjunt obert de la recta real. El conjunt de totes les funcions $C^k$ de valor real definides sobre $D$ és un espai vectorial de Fréchet, en la família contable de seminormas $$p_{K,m}=\underset{x\in K}{\sup }|f^{(m)}(x)|$$ a on $K$ varia sobre una seqüència creixent de conjunt compacte que la seua unió és $D$, i $m=0,1,\dots ,k$.

El conjunt de funcions $C^{\mathrm{\infty }}$ sobre $D$ també forma un espai de Fréchet. S'utilisen les mateixes seminormas que en el cas anterior, excepto que $m$ pot comprendre tots els valors sancers no negatius.

Els espais anteriors apareixen de forma natural en aplicacions a on es necessiten funcions que tinguen derivades de certs órdens; no obstant, particularment en l'estudi d'equacions diferencials parcialss, a voltes pot ser més fructífer treballar en el seu lloc en els espais de Sóbolev.

Continuïtat

Els térmens continuïtat paramètrica (C^k) i continuïtat geomètrica (Gⁿ) varen ser introduïts per Brian Barsky, per a demostrar que la suavitat d'una curva podia medir-se eliminant restriccions en la velocitat, en la que el paràmetro traça la curva.

Continuïtat paramètrica

Continuïtat paramètrica (C^k) és un concepte aplicat a curva paramètricas, que descriu la suavitat del valor del paràmetro en la distància a lo llarc de la curva. Una curva (paramètrica) $s:[0,1]\to {ℝ}^n$ es diu que és de classe C^k, si $\frac{d^{k}s}{d{t}^k}$ existix i és contínua en $[0,1]$, a on les derivades en els punts extrems $0,1\in [0,1]$ es prenen com derivades unilaterals (i. i., a $0$ per la dreta, i a $1$ per l'esquerra).

Com a aplicació pràctica d'este concepte, una curva que descriu el moviment d'un objecte en un paràmetro de temps deu tindre continuïtat ¹ i la seua primera derivada és diferenciable-per a que l'objecte tinga acceleració finita. Per a un moviment més suau, com el de la trayectòria d'una cambra en filmar una película, es requerixen órdens superiors de continuïtat paramètrica.

Orde de continuïtat paramètrica

Archiu:Parametric continuity caps block 11 .svg

Dos segments de curva de Bézier units que només és contínua C⁰.

Archiu:Parametric continuity vector.svg

Dos segments de curva de Bézier units de tal forma que són continus C¹.

Els distints órdens de continuïtat paramètrica poden descriure's de la següent manera:

• $C^0$: la derivada zero-ésima és contínua (les curves són contínues).
• $C^1$: la derivada zero-ésima i la primera són contínues
• $C^2$: les derivades zero-ésima, primera i segona són contínues
• $C^n$: les derivades zero-ésima a enèsima són contínues