Curva de Bézier

Archiu:Bezier.png

Construcció d'una curva de Bézier

Es denomina curves de Bézier a un sistema que es va desenrollar cap als anys 1960 per al traçat de dibuixos tècnics, en el disseny aeronàutic i en el d'automòvils. La seua denominació és en honor a Pierre Bézier, qui va idear un método de descripció matemàtica de les curves que es va començar a utilisar en èxit en els programes de CAD.

Història

Les curves de Bézier varen ser publicades per primera volta en 1962 per l'ingenier francés, Pierre Bézier i posteriorment, treballant en la Renault, les va usar en abundància en el disseny de les diferents parts de l'automòvil. Les curves varen ser desenrollades per Paul de Casteljau usant l'algoritme que du el seu nom. Es tracta d'un método numèricament estable per a evaluar les curves de Bézier.

Posteriorment, els inventors del PostScript, llenguage que va permetre el desenroll de sistemes d'impressió d'alta calitat des de l'ordenador, varen introduir en eixe còdic el método de Bézier per a la generació del còdic de les curves i els traçats. El llenguage PostScript seguix amprant-se àmpliament i s'ha convertit en un estàndart de calitat universal; per això, els programes de disseny vectorial com Atobó Illustrator, l'extint Macromedia FreeHand i Corel Draw, tres dels programes més importants de dibuix vectorial i uns atres com Inkscape, denominen «bézier» a algunes de les seues ferramentes de dibuix, i es parla de «traçats bézier», «ploma bézier», «llapis bézier», etc. La seua facilitat d'us l'ha estandardisat en el disseny gràfic, estenent-se també a programes d'animació vectorial, com Atobó Flash, i retoc fotogràfic (bitmap), com Photoshop i Gimp, a on s'usa per a crear traços, formes tancades o seleccions.

L'idea de definir geomètricament les formes no és massa complexa: un punt del pla pot definir-se per coordenades. Per eixemple, un punt A té unes coordenades (x₁, i₁) i a un punt B li correspon (x₂,i₂). Per a traçar una recta entre abdós n'hi ha prou en conéixer la seua posició. Si en lloc d'unir dos punts en una recta s'unixen en una curva, sorgixen els elements essencials d'una curva Bézier; els punts es denominen «punts de anclaje» o «nodos». La forma de la curva es definix per uns punts invisibles en el dibuix, denominats «punts de control», «manejadores» o «manetes».

Examen dels casos

Curves llineals de Bézier

Donats els punts P₀ i P₁, una curva llineal de Bézier és una llínea recta entre els dos punts. La curva ve donada per l'expressió:

$𝐁(t)={𝐏}_0+({𝐏}_1-{𝐏}_0)t=(1-t){𝐏}_0+t{𝐏}_1\text{ , }t\in [0,1].$

Curves quadràtiques de Bézier

Una curva quadràtica de Bézier és el camí traçat per la funció B(t), donats els punts: P₀, P₁, i P₂,

$𝐁(t)=(1-t{)}^2{𝐏}_0+2t(1-t){𝐏}_1+t^2{𝐏}_2\text{ , }t\in [0,1].$

Les fonts de lletres TrueType usen curves de Bézier desdobladas compostes per curves quadràtiques de Bézier.

Curves cúbiques de Bézier

Archiu:Bezier curve.svg

Curva cúbica de Bézier a on s'aprecien els punts o nodos de anclaje P₁ i P₂

Quatre punts del pla o de l'espai tridimensional, P₀, P₁, P₂ i P₃ definixen una curva cúbica de Bézier. La curva comença en el punt P₀ i es dirigix cap a P₁ i aplega a P₃ venint de la direcció del punt P₂. Usualment, no passarà ni per P₁ ni per P₂. Estos punts solament estan ahí per a proporcionar informació direccional. La distància entre P₀ i P₁ determina «quina llongitut» té la curva quan es mou cap a la direcció de P₂ abans de dirigir-se cap a P₃.

La forma paramètrica de la curva és:

$𝐁(t)=(1-t{)}^3{𝐏}_0+3t(1-t{)}^2{𝐏}_1+3t^2(1-t){𝐏}_2+t^3{𝐏}_3\text{ , }t\in [0,1].$

Els moderns sistemes d'imàgens com PostScript, Asymptote i Metafont usen curves de Bézier desdobladas, compostes per curves cúbiques de Bézier per a dibuixar les formes de les curves.

Vore també

• Polinomi de Bernstein

Referències

• Paul Bourke: Bézier curves, https://web.archive.org/web/20060708162825/http://astronomy.swin.edu.au/%7Epbourke/curves/bezier/
• Donald Knuth: Metafont: the Program, Addison-Wesley 1986, pp. 123-131. Excellent discussion of implementation details; available for free as part of the TeX distribution.
• Dr Thomas Sederberg, BYU Bézier curves, https://web.archive.org/web/20060221000535/http://www.tsplines.com/resources/class_notes/bezier_curves.pdf
• J.D. Foley et al.: Computer Graphics: Principles and Practice in C (2nd ed., Addison Wesley, 1992)