Algoritme de De Casteljau

L'algoritme de De Casteljau és, en el camp del anàlisis numèric de la matemàtica, un método recursivo per a calcular polinomis en la forma de Bernstein o base de Bernstein, o en les curves de Bézier. Pren el seu nom de l'ingenier Paul De Casteljau. Este algoritme és un método numèricament estable per a evaluar les curves de Bézier.

Encara que l'algoritme de De Casteljau és relativament llent en les configuracions, si es compara en uns atres és numèricament més estable.

Idea base

L'idea principal d'este algoritme sorgix de requisits gràfics en informàtica i es basa en el fet que una restricció d'una curva de Bézier és també una curva de Bézier. Llavors, a partir de la curva inicial es troben els punts de control de dos curves definides per $t\in [0,1/2]$ i $t\in [1/2,1]$ i es fixen els pixels que corresponen al punt per $t=\frac{1}{2}$. A on es iteran els processos sobre cada una de les dos curves fins que la precisió siga inferior a l'pixel.

Definició

Donat un polinomi B en forma de Bernstein de grau n

$B(t)=\sum _{i=0}^n{\beta }_i{b}_{i,n}(t),$

a on b és un polinomi base de Bernstein, el polinomi en el punt t₀ pot ser calculat en la relació de recurrencia

${\beta }_i^{(0)}={\beta }_i\text{ , }i=0,\dots ,n$

${\beta }_i^{(j)}={\beta }_i^{(j-1)}(1-t_0)+{\beta }_{i+1}^{(j-1)}{t}_0\text{ , }i=0,\dots ,n-j\text{ , }j=1,\dots n$

en

$B(t_0)={\beta }_0^{(n)}$.

Referències

• Farin, Gerald & Hansford, Dianne (2000). The Essentials of CAGD. Natic, MA: A K Peters, Ltd. ISBN 1-56881-123-3