Estabilitat numèrica

En el subcampo matemàtic del anàlisis numèric, la estabilitat numèrica és una propietat dels algoritmes numèrics. Descriu cóm els errors en les senyes d'entrada es propaguen a través de l'algoritme. En un método estable, els errors deguts a les aproximacions s'atenuen a mida que la computació procedix. En un método inestable, qualsevol error en el processament es magnifica conforme el càlcul procedix. Métodos inestables generen ràpidament anomalies i són inútils per al processament numèric.

L'estabilitat numèrica d'un método junt en el número de condició definix cuán bon resultat podem obtindre usant métodos aproximats per a calcular cert problema matemàtic.

Algunes voltes un sol càlcul pot ser conseguit de vàries maneres, que poden ser algebraicamente idèntiques en térmens de número real o complexos, pero que en la pràctica produïxen resultats diferents segons varien els nivells d'estabilitat numèrica. Una de les tasques comunes del anàlisis numèric és tractar de seleccionar algoritmes robusts: açò és, que tenen una bona estabilitat numèrica en un ampli interval (range) de situacions. Estos métodos estan freqüentment disponibles per a usuaris de llenguages de programació com biblioteques de computació matemàtica (vore mathematical computing libraries). L'us apropiat de biblioteques de computació matemàtica és usualment molt superior a algoritmes numèrics "casers".

Definició

Donat un algoritme f(x), en x les senyes d'entrada i ε l'error en les senyes d'entrada, diem que l'algoritme és numèricament estable (és dir que l'algoritme depén contínuament dels paràmetros) per al error absolut si

$x-(x+ϵ)\simeq f(x)-f(x+ϵ)$

i numèricament estable per al error relatiu si

$\frac{x-(x+ϵ)}{x}\simeq \frac{f(x)-f(x+ϵ)}{f(x)}$

Diem que un algoritme és numèricament inestable per a l'error absolut si

$x-(x+ϵ)<<f(x)-f(x+ϵ)$

i numèricament inestable per a l'error relatiu si

$\frac{x-(x+ϵ)}{x}<<\frac{f(x)-f(x+ϵ)}{f(x)}$

Notes

Quan es calculen solucions numèriques a certes equacions diferencials parcials, l'estabilitat es conseguix algunes voltes incloent la difusió numèrica. La difusió numèrica és un terme matemàtic que assegura que errors de grosseig i d'un atre tipo en els càlculs es disseminen i no se sumixen causant desbordes en el càlcul.

L'estabilitat numèrica és la raó per la qual no es pot normalment testear un còdic numèric com la simulació del clima corrent-ho cap a arrere. Córrer el còdic cap a avant inclou usualment métodos numèrics per a assegurar que els errors d'aproximació aleatoris es tornen cada volta menys importants a mida que el càlcul procedix, assegurant l'estabilitat numèrica. Córrer el còdic cap a arrere magnifica els errors generant resultats sense utilitat pràctica.

Quan es resol un problema numèric en un método aproximat, dos tipos d'errors poden ocórrer:

• Errors de truncació deguts a la simplificació de processos infinits en un número finit de càlculs. Eixemples: calcular una funció transcendent usant la seua série de Taylor, integrar usant una suma finita de rectànguls.
• Errors de grosseig generats en guardar o operar en precisió finita, per eixemple en representar número irracional o periòdics en un número llimitat de sifres significatives, o en guardar en un ordenador la representació aproximada d'un número, per no reposar la representació exacta d'este número en punt flotant.