Funció bulto

Erro al crear miniatura:

La gràfica de la funció bulto $(x,y)\in {ℝ}^2\mapsto \Psi (r),$ a on $r={(x^2+y^2)}^{1/2}$ i $\Psi (r)=e^{-1/(1-r^2)}\cdot {\mathrm{𝟏}}_{\{|r|<1\}}.$

En matemàtiques, una funció bulto o funció de prova (en anglés, respectivament "bump function" i "test function") és una funció $f:{ℝ}^n\to ℝ$ en un espai euclídeo ${ℝ}^n$ que és al mateix temps suau (en el sentit de tindre derivades contínues de tots els órdens) i compactamente soportada. El conjunt de totes les funciones bulto en domini ${ℝ}^n$ forma un espai vectorial, denotat ${\mathrm{C}}_0^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$ o ${\mathrm{C}}_{\mathrm{c}}^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n).$ l'espai dual d'este espai dotat d'una topología adequada és l'espai de distribucions.

Eixemples

Erro al crear miniatura:

La funció bulto 1d $\Psi (x).$

La funció $\Psi :ℝ\to ℝ$ donada per

$\Psi (x)=\{\begin{array}{cc}\exp (-\frac{1}{1-x^2}),& x\in (-1,1)\\ 0,& \text{ en caso contrario}\end{array}=\exp (-\frac{1}{1-\min (1,x^2)})$

és un eixemple d'una funció bulto en una dimensió. De la seua construcció es desprén clarament que esta funció té soport compacte, ya que una funció de la recta real té soport compacte si i solament si té soport tancat acotat. La prova de suavitat seguix la mateixa llínea que per a la funció relacionada analisada en l'artícul sobre funcions suaus no analítiques. Esta funció es pot interpretar com la funció gaussiana $\exp (-y^2)$ escalada per a ajustar-se en el disc unitari: la substitució $y^2=1/(1-x^2)$ correspon a l'enviament de $x=\pm 1$ a $y=\mathrm{\infty }.$

Un eixemple simple d'una funció bulto (quadrada) en $n$ variables s'obté prenent el producte de $n$ còpies de la funció bulto anterior en una variable, per lo que :$\Phi (x_1,x_2,\dots ,x_n)=\Psi (x_1)\Psi (x_2)\cdots \Psi (x_n).$

Funcions de transició suau

La funció suau no analítica f(x) considerada en l'artícul

Considere's la funció

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-\frac{1}{x}}& \text{ si }x>0,\\ 0& \text{ si }x\le 0,\end{array}$

definida per a cada número real x.

La transició suau g de 0 a 1 definida ací

La funció

$g(x)=\frac{f(x)}{f(x)+f(1-x)},x\in ℝ,$

té un denominador estrictament positiu en tota la recta real, per lo que g també és suau. Ademés, g(x) = 0 per a x ≤ 0 i g(x) =  1 per a x ≥ 1, per lo que proporciona una transició suau del nivell 0 al nivell 1 en l'interval unitat [0, 1]. Per a tindre una transició suau en l'interval real [a, b] en a < b, considere's la funció

$ℝ\ni x\mapsto g\left(\frac{x-a}{b-a}\right).$

Per a número real a < b < c < d, la funció suau

$ℝ\ni x\mapsto g\left(\frac{x-a}{b-a}\right)g\left(\frac{d-x}{d-c}\right)$

és igual a 1 en l'interval tancat [b, c] i desapareix fòra de l'interval obert (a, d), per lo que pot servir com a funció bulto.

Es deu tindre precaució ya que, per eixemple, prendre $\{a=-1\}<\{b=c=0\}<\{d=1\}$ conduïx a:

$q(x)=\frac{1}{1+e^{\frac{1-2|x|}{x^2-|x|}}}$

que no és una funció infinitament diferenciable (per lo tant, no és suau), per lo que les restriccions a < b < c < d deuen complir-se estrictament.

Algunes senyes interessants sobre la funció:

$q(x,a)=\frac{1}{1+e^{\frac{a(1-2|x|)}{x^2-|x|}}}$

Es dona el cas de que el valor $q(x,\frac{\sqrt{3}}{2})$ produïx curves de transició suaus en vores de pendent "casi" constant (que es comporten com a llínees rectes inclinades en un interval de mida distint de zero)

Un eixemple propi d'una funció bulto serà:

$u(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{1+e^{\frac{1-2|x|}{x^2-|x|}}}& \text{ si }|x|<1,\\ 0& \text{ si }|x|\ge 1,\end{array}$

Un eixemple propi d'una funció de transició suau serà:

$w(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{1+e^{\frac{2x-1}{x^2-x}}}& \text{ si }0<x<1,\\ 0& \text{ si }x\le 0,\\ 1& \text{ si }x\ge 1,\end{array}$

a on es pot observar que es pot representar també per mig de la funció hiperbòlica:

$\frac{1}{1+e^{\frac{2x-1}{x^2-x}}}=\frac{1}{2}(1-\tanh \left(\frac{2x-1}{2(x^2-x)}\right))$

Existència de funcions bulto

Erro al crear miniatura:

Una ilustració de la construcció de conjunts

És possible construir funcions de resposta "segons especificacions donades". Dit formalment, si $K$ és un espai compacte arbitrari en $n$ dimensions i $U$ és un conjunt obert que conté a $K,$ existix una funció bulto $\varphi$ que és $1$ en $K$ i $0$ anara de $U.$ Ya que $U$ pot considerar-se un entorn molt chicotet de $K,$ açò equival a poder construir una funció que siga $1$ en $K$ i que caiga ràpidament a $0$ anara de $K,$ sense deixar de ser suau.

Funciones bulto definides en térmens de convolución

La construcció es desenrolla de la següent manera. Es considera un entorn compacte $V$ de $K$ contingut en $U,$ per lo que $K\subseteq V^{\circ }\subseteq V\subseteq U.$ La funció característica ${\chi }_V$ de $V$ serà igual a $1$ en $V$ i $0$ anara de $V,$ per lo que, en particular, serà $1$ en $K$ i $0$ anara de $U.$ No obstant, esta funció no és suau. L'idea clau és suavisar una miqueta ${\chi }_V$, prenent la convolución de ${\chi }_V$ en un apaciguador, una funció bulto en un soport molt chicotet i que la seua integral és $1.$ Tal procés de suavisat es pot obtindre, per eixemple, prenent la funció bulto $\Phi$ de la secció anterior i realisant els escalamientos apropiats.

Funciones bulto definides en térmens d'una funció $c:ℝ\to [0,\mathrm{\infty })$ en soport $(-\mathrm{\infty },0]$

Ara es detalla una construcció alternativa que no implica convolución. Es comença construint una funció suau $f:{ℝ}^n\to ℝ$ que és positiva en un subconjunt obert dau $U\subseteq {ℝ}^n$ i desapareix en $U.$ El soport d'esta funció és igual al tancament $\bar{U}$ de $U$ en ${ℝ}^n,$ per lo que si $\bar{U}$ és compacte, llavors $f$ és una funció bulto.

Comence's en qualsevol funció suau $c:ℝ\to ℝ$ que desaparega en els reals negatius i siga positiva en els reals positius (és dir, $c=0$ en $(-\mathrm{\infty },0)$ i $c>0$ en $(0,\mathrm{\infty }),$ a on la continuïtat des de l'esquerra requerix que $c(0)=0$). Un eixemple de dita funció és $c(x):=e^{-1/x}$ per a $x>0$ i $c(x):=0$ en cas contrari. Es corrig un subconjunt obert $U$ de ${ℝ}^n$ i es denota l'espai euclídeo habitual per $\Vert \cdot \Vert$ (de modo que ${ℝ}^n$ està dotat de la distància euclídea habitual). La següent construcció definix una funció suau $f:{ℝ}^n\to ℝ$ que és positiva en $U$ i desapareix fòra de $U.$ Llavors, en particular, si $U$ és relativament compacta, llavors esta funció $f$ serà una funció bulto.

Si $U={ℝ}^n$, llavors siga $f=1$, mentres que si $U=\varnothing$, llavors siga $f=0.$ Suponga's que $U$ no és cap d'estos dos conjunts. Siga ${\left(U_k\right)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ un recobriment obert de $U$ per boles obertes, a on la bola oberta $U_k$ té ràdio $r_k>0$ i centre $a_k\in U.$ Llavors, l'aplicació $f_k:{ℝ}^n\to ℝ$ definida per $f_k(x)=c(r_k^2-{\Vert x-a_k\Vert }^2)$ és una funció suau que és positiva en $U_k$ i desapareix de $U_k.$

Per cada $k\in \mathbb{N},$ siga

$M_k=\sup \{|\frac{{\partial }^p{f}_k}{{\partial }^{p_1}{x}_1\cdots {\partial }^{p_n}{x}_n}(x)|:x\in {ℝ}^n\text{ y }{p}_1,\dots ,p_n\in \mathbb{Z}\text{ satisface }0\le p_i\le k\text{ y }p=\sum _i{p}_i\},$

quan este suprem no és igual a $+\mathrm{\infty }$ (per lo que $M_k$ és un número real no negatiu) perque $({ℝ}^n\setminus U_k)\cup \overline{U_k}={ℝ}^n,$ totes les derivades parcials desapareixen (és dir, són iguals a $0$) en qualsevol $x$ anara de $U_k,$ mentres que en el conjunt compacte $\overline{U_k},$ els valors de cada una de les (finitamente moltes) derivades parcials estan (uniformemente) superiorment acotades per algun número real no negatiu.

La série

$f:=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f_k}{2^k{M}_k}$

convergix uniformemente en ${ℝ}^n$ a una funció suau $f:{ℝ}^n\to ℝ$ que és positiva en $U$ i s'anula fòra de $U.$ Ademés, per a qualsevol número entero no negatiu $p_1,\dots ,p_n\in \mathbb{Z},$

$\frac{{\partial }^{p_1+\cdots +p_n}}{{\partial }^{p_1}{x}_1\cdots {\partial }^{p_n}{x}_n}f=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^k{M}_k}\frac{{\partial }^{p_1+\cdots +p_n}{f}_k}{{\partial }^{p_1}{x}_1\cdots {\partial }^{p_n}{x}_n}$

a on esta série també convergix uniformemente en ${ℝ}^n$ (perque sempre que $k\ge p_1+\cdots +p_n,$ llavors el valor absolut del terme $k$^th és $\le \frac{M_k}{2^k{M}_k}=\frac{1}{2^k}$). Açò completa la construcció.

Com a corolari, daus dos subconjunts tancats disjuntos $A,B$ de ${ℝ}^n,$ la construcció anterior garantisa l'existència de funcions $f_A,f_B:{ℝ}^n\to [0,\mathrm{\infty })$ suaus i no negatives tals que per a qualsevol $x\in {ℝ}^n,$ $f_A(x)=0$ si i solament si $x\in A,$ i de manera similar, $f_B(x)=0$ si i solament si $x\in B,$ llavors la funció

$h:=\frac{f_A}{f_A+f_B}:{ℝ}^n\to [0,1]$

és suau i per a qualsevol $x\in {ℝ}^n,$ $h(x)=0$ si i solament si $x\in A,$ $h(x)=1$ si i solament si $x\in B,$ i $0<h(x)<1$ si i solament si $x\in ̸A\cup B.$

En particular, $h(x)\ne 0$ si i solament si $x\in {ℝ}^n\setminus A,$ llavors si ademés $U:={ℝ}^n\setminus A$ és relativament compacte en ${ℝ}^n$ (a on $A\cap B=\varnothing$ implica que $B\subseteq U$), llavors $h$ serà una funció bulto suau en soport en $\bar{U}.$

Vore també

• Funció de tall
• Laplaciano de l'indicador
• Funció suau no analítica
• Espai de Schwartz

Bibliografia

• Smooth Manifolds and Observables (vol. 220), Springer Nature. OCLC 1195920718. ISBN 978-3-030-45649-8.