Apaciguador (matemàtiques)

Un apaciguador (dalt) en dimensió un. En la part inferior, en roig hi ha una funció en un cantó (esquerra) i un bot brusc (dreta), i en blava està la seua versió assossegada

En matemàtiques, un apaciguador (nom original en anglés: mollifier), també conegut com a aproximació a l'identitat, és una funció suau en propietats especials, que s'utilisa, per eixemple, en la teoria de distribucions per a crear successions de funcions suaus que s'aproximen a funcions (generalisades) no suaus, per mig de convolución. Intuitivament, donada una funció que siga prou irregular, pugues "suavisar-se" al convolucionarla en un apaciguador, és dir, s'obté una funció en les traces angulosos suavisats, pero sense deixar de permanéixer prop de la funció (generalisada) original que no és suau.

A estes funcions també li les coneix com apaciguadores de Friedrichs en referència a Kurt Otto Friedrichs, el matemàtic que les va idear.

Definició

Una funció en procés de apaciguamiento progressiu

Definició moderna (basada en la teoria de la distribució)

Plantilla:EquationRef Si $\phi$ és una funció suau en ℝⁿ, n ≥ 1, que satisfà els següents tres requisits

Plantilla:EquationRef És compactamente soportada

Plantilla:EquationRef$\underset{{ℝ}^n}{\int }\phi (x)\mathrm{d}x=1$

Plantilla:EquationRef$\underset{ϵ\to 0}{\lim }{\phi }_{ϵ}(x)=\underset{ϵ\to 0}{\lim }{ϵ}^{-n}\phi (x/ϵ)=\delta (x)$

a on $\delta (x)$ és la delta de Dirac i el llímit deu entendre's en l'espai de distribucions de Schwartz, llavors $\phi$ és un apaciguador. La funció $\phi$ també podria satisfer atres condicions: per eixemple, si satisfà

Plantilla:EquationRef$\phi$$(x)$ ≥ 0 per a tot x ∈ ℝⁿ, llavors es diu apaciguador positiu

Plantilla:EquationRef$\phi$$(x)$=$\mu$$(|x|)$ per a algunes funcions suaus $\mu$ : ℝ⁺ → ℝ, llavors es diu apaciguador simètric

Notes sobre la definició de Friedrichs

Nota 1. Quan la teoria de distribucions encara no era àmpliament coneguda ni utilisada, la propietat anterior de Plantilla:EquationNote es va formular dient que la convolución de la funció ${\phi }_{ϵ}$ en una funció donada pertanyent a un espai de Hilbert propi o a un espai de Banach convergix com ε → 0 a eixa funció: açò és exactament lo que va fer Friedrichs. De la mateixa manera, esta circumstància també aclarix per qué els apaciguadores estan relacionats en les identitats aproximades.

Nota 2. Com es va senyalar breument en la secció de "Notes històriques" d'esta entrada, originalment, el terme "apaciguador" identificava el següent operador de convolución:

${\Phi }_{ϵ}(f)(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }{\phi }_{ϵ}(x-y)f(y)\mathrm{d}y$

a on ${\phi }_{ϵ}(x)={ϵ}^{-n}\phi (x/ϵ)$ i $\phi$ és una funció suau que satisfà les tres primeres condicions indicades anteriorment i una o més condicions suplementàries, com positividad i simetria.

Eixemple concret

La funció $\phi$$(x)$ en dimensió un

Considere's la funció bulto $\phi$$(x)$ d'un variable en ℝⁿ definida per

$\phi (x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-1/(1-|x{|}^2)}/I_n& \text{if }|x|<1\\ 0& \text{if }|x|\ge 1\end{array}$

a on la constant numèrica $I_n$ assegura la normalisació. Esta funció és Infinitament diferenciable, pero no analítica, i la seua derivada s'anula per a |x| = 1. Per lo tant, $\phi$ pot utilisar-se com apaciguador tal com es descriu anteriorment: es pot vore que $\phi$$(x)$ definix un apaciguador positiu i simètric.

Notes històriques

Kurt Otto Friedrichs va introduir els apaciguadores en el seu artícul Plantilla:Harv, que es considera una fita en la teoria moderna de les equacions en derivades parcials. El nom d'este objecte matemàtic va tindre una génesis curiosa, i Peter Lax conta tota l'història en el seu comentari sobre eixe artícul publicat en la "Selecta" de Friedrichs. Segons ell, en aquella época, el matemàtic Donald Alexander Flanders era colega de Friedrichs: com li agradava consultar als seus colegues sobre l'us de l'anglés, li va demanar consell a Flanders sobre cóm nomenar l'operador de suavisat que estava utilisant. Flanders era un puritano, malnomenat pels seus amics Moll en honor a Moll Flanders en reconeiximent a les seues qualitats morals: va sugerir cridar al nou concepte matemàtic "apaciguador" com un joc de paraules que incorpora tant el renom de Flanders com el verp to mollify, que significa 'suavisar' en sentit figurat.

Anteriorment, Serguéi Sóbolev va usar apaciguadores en el seu artícul d'época de 1938, que conté la prova del teorema de embebido de Sobolev: el propi Friedrichs va reconéixer el treball de Sobolev sobre els apaciguadores, afirmant que: - "Estos apaciguadores varen ser introduïts per Sobolev i l'autor..." .

cal senyalar que el terme apaciguador ha experimentat una deriva llingüística des de l'época d'estos treballs fundacionals: Friedrichs va definir com "apaciguador" al operador integral el núcleu del qual és una de les funcions hui anomenades apaciguadores. No obstant, ya que les propietats d'un operador integral llineal estan completament determinades pel seu núcleu, el núcleu mateix va heretar el nom de apaciguador com a resultat del seu us comú.

Bibliografia

• . El primer artícul a on es varen introduir els apaciguadores.

• . Un artícul a on s'investiga el differentiability de solucions d'equació diferencial parcial elíptica per mig de l'us de suavizadores.
• . Una selecció de les obres de Friedrichs en una biografia i comentaris de David Isaacson, Fritz John, Tosio Kato, Peter Lax, Louis Nirenberg, Wolfgag Wasow, Harold Weitzner.
• .
• .
• . L'artícul a on Sergéi Sobólev va demostrar el seu teorema de embebido, introduint i usant operadors integrals molt similars als apaciguadores, encara que sense nomenar-los explícitament.