Série convergent

Archiu:Sucesiones es.svg

Tipos de successions matemàtiques

En matemàtiques, una série (sumixca dels térmens d'una seqüència de números), resulta convergent si la successió de sumes parcials té un llímit en l'espai considerat. D'un atre modo, constituiria lo que es denomina série divergent.

Definició formal

Les séries considerades són numèriques (en térmens reals o complexos) o vectorials (en valors en un espai vectorial format).

La série de terme general $a_n$ convergix quan la successió $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ de sumes parcials convergix, a on para tot sancer natural n,

$A_n=\sum _{k=0}^n{a}_k$.

En este cas la suma de la série és el llímit de la successió de sumes parcials

$\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_k=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{A}_n$.

La naturalea de convergència o no-convergència d'una série no s'altera si es modifica una cantitat finita de térmens de la série.

Eixemples

Resulten convergents les séries de les seqüències:

• dels recíprocs dels sancers impars, en signes alternats $(\frac{1}{1},-\frac{1}{3},\frac{1}{5},-\frac{1}{7},\frac{1}{9},-\frac{1}{11},\cdots )$, coneguda com Série de Leibniz:

  $\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots =\frac{\pi }{4}$;

• dels recíprocs dels números triangulars:

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+\cdots =2$;

• dels recíprocs dels successius factorials (n!):

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\cdots =e$;

• dels recíprocs dels successius quadrats perfectes (vore Problema de Basilea):

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\frac{1}{36}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$;

• dels recíprocs de les potències de 2:

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\cdots =2$;

• dels recíprocs de les potències de 2 en signes alternats:

  $\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{1}{32}+\cdots =\frac{2}{3}$;

• dels recíprocs dels números de Fibonacci (vore Constant dels inversos de Fibonacci):

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\cdots =\psi$;

• dels de recíprocs dels naturals en signes alternats $(1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\frac{1}{5},-\frac{1}{6},\frac{1}{7},\cdots )$:

  $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}=\ln 2$.

Resulten divergents les séries de les seqüències:

• dels de recíprocs dels naturals $(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7},\cdots )$:

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots \to \mathrm{\infty }$

(és la coneguda com série harmònica);

• dels recíprocs dels número primo ( $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7},\frac{1}{11},\frac{1}{13},\cdots$):

  $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\cdots \to \mathrm{\infty }$.

Vore també

• Série matemàtica
• Série divergent
• Llímit d'una successió

Referències

• ConvergentSeries en MathWorld.

Rowland, Todd. "Limit Test." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/limittest.html