Série harmònica (matemàtica)

Série harmònica (matemàtica)

Es diu série harmònica (en matemàtiques) a aquella que suma els inversos multiplicativos dels sancers positius, denotant-la en la següent série infinita:

Es diu aixina perque la llongitut d'ona dels successius harmònics d'una corda que vibra és proporcional a la llongitut d'ona del modo d'oscilació fonamental a través dels factors de proporcionalitat donats pels corresponents térmens de la série: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7... El primer terme representa per tant al modo fonamental.

Propietats

Divergència de la série harmònica

La série harmònica és divergent, encara que divergix llentament (els primers 10⁴³ térmens de la série sumen menys que 100). Açò es pot demostrar fent vore que la agrupació dels térmens de la série harmònica:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+[\frac{1}{3}+\frac{1}{4}]+[\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}]+\cdots$

són majors, que esta atra série:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-\lceil {\log }_{2}k\rceil }=1+\frac{1}{2}+[\frac{1}{4}+\frac{1}{4}]+[\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}]+\cdots$

$=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots$

que està clar que divergix i per conseqüència la série harmònica també divergix. Esta prova va ser donada per Nicolás Oresme en (1350) i va anar un gran pas per a les matemàtiques medievalés en particular

Prova de per qué divergix

Es té la desigualtat $\frac{1}{n}>\log \frac{n+1}{n}$, n és número entero positiu. Llavors

$1>\log \frac{2}{1}$

$\frac{1}{2}>\log \frac{3}{2}$

$\frac{1}{3}>\log \frac{4}{3}$

.........................

$\frac{1}{n}>\log \frac{n+1}{n}$

Sumant membre a membre: série harmònica $>\log \frac{2\cdot 3\cdot 4\cdot \cdot \cdot (n+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \cdot \cdot n}=\log (n+1)$

en el llímit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\mathrm{...}+\frac{1}{n})\ge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log (n+1)=\mathrm{\infty }$

Per tant la série harmònica divergix.

Atres séries, com la suma dels inversos dels número primo divergix, encara que açò ya és més difícil de demostrar (vore la demostració ací).

Convergència de la série harmònica alternada

La série harmònica alternada, no obstant, convergix:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\cdots =\ln 2$

Esta és una conseqüència de la série de Taylor del logaritmo natural.

Série harmònica parcial

Representació

Si definim el n-ésimo número harmònic com:

$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$

llavors H_n creix aproximadament tan ràpit com el logaritmo natural de n. Açò és aixina perque la suma s'aproxima a l'integral

$\underset{1}{\overset{n}{\int }}\frac{1}{x}dx$

el valor del qual és log(n).

En més precisió, tenim el llímit:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{H}_n-\log (n)=\gamma$

a on γ és la constant de Euler-Mascheroni.

Es pot demostrar que:

1. L'únic H_n que és sancer és H₁.
2. La diferencia H_m - H_n a on m>n mai és sancera.

Entre les representacions per a H_n, en les que n pot ser un número fraccionario o negatiu (no sancer) estan:

$H_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-x^n}{1-x}dx$

donada per Leonhard Euler.

I també

$H_n=\Psi (n+1)+\gamma$

a on Ψ(n+1) és la funció digamma i γ és la constant de Euler-Mascheroni.

Conexió en l'hipòtesis de Riemann

Jeffrey Lagarias va demostrar en 2001 que la hipòtesis de Riemann és equivalent a l'afirmació:

$\sigma (n)\le H_n+\log (H_n)e^{H_n}\text{ para todo }n\in \mathbb{N}$

a on σ(n) és la suma dels divisorés positius de n.

Vore també

• Mija harmònica
• Número harmònic

Referències

• Leonhard Euler, De summatione innumerabilium progressionum, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5, 1738, pp. 91-105 Reprinted In Opera Omnia: Séries 1, Volume 14, pp. 25 - 41
• Vore també l'anex no publicat, "More proofs of divergence of the harmonic séries" per Kifowit. (en anglés)
• An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly, volume 109 (2002), pages 534--543.

• Oresme, N. (1350) "Quaestiones super geometriam Euclidis", Edited by H. L. L.Busard. Janus, suppléments, Vol. III, E. J. Brill, Leiden, 1961.