Número harmònic

Archiu:HarmonicNumbers.svg

El número harmònic $H_{n,1}$ en $n=\lfloor x\rfloor$ (gràfica roja) en el seu llímit asintòtic $\gamma +\log x$ (gràfica blava).

En matemàtiques, es definix el n-ésimo número harmònic com la suma dels recíprocs dels primers n número natural:

$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}$

Este també és igual a n voltes l'invers de la mija harmònica.

Els números harmònics han segut estudiats des de l'antiguetat i són importants en moltes branques de la teoria de números. A voltes es denomina vagament série harmònica. Estan íntimament relacionats en la funció zeta de Riemann, i apareixen en diverses expressions de funcions especials.

Representació

La primera representació, en forma integral, va ser donada per Leonhard Euler:

$H_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-x^n}{1-x}dx.$

En esta representació és fàcil mostrar que se satisfà una relació recursiva per mig de la fòrmula

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1},$

i després

$x^n+\frac{1-x^n}{1-x}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$

dins de l'integral.

Per als número natural, H_n també es pot representar com:

$H_n=\sum _{k=0}^{n-1}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{k}dx$

H_n creix igual de ràpit que el logaritmo natural de n. La raó és que la suma està aproximada per l'integral

$\underset{1}{\overset{n}{\int }}\frac{1}{x}dx$

el valor del qual és log(n). Concretament, tenim el següent llímit:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{H}_n-\log (n)=\gamma$

(a on γ és la constant de Euler-Mascheroni 0.5772156649...).

I també, com la corresponent expansió asintòtica:

$H_n=\gamma +\log n+\frac{1}{2}{n}^{-1}-\frac{1}{12}{n}^{-2}+\frac{1}{120}{n}^{-4}+𝒪(n^{-6})$

Funcions generatrices

Una funció generatriz que indexa els números harmònics és

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}^n{H}_n=\frac{-\log (1-z)}{1-z},$

a on $\log (z)$ és el logaritmo natural. Una atra funció generadora exponencial que indexa als números harmònics és:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}{H}_n=-e^z\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}\frac{(-z{)}^k}{k!}=e^z\text{Ein}(z)$

a on $\text{Ein}(z)$ és l'integral exponencial sancera. Note's que

$\text{Ein}(z)={\text{E}}_1(z)+\gamma +\log z=\Gamma (0,z)+\gamma +\log z$

a on $\Gamma (0,z)$ és la funció gamma incompleta.

Referències

• Euler, Leonhard, De progressionibus harmonicis observationes. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 7, 1740, pp. 150-161. Reprinted in Opera Omnia: Séries 1, Volume 14, pp. 87 - 100
• Arthur T. Benjamin, Gregory O. Preston, Jennifer J. Quinn, A Stirling Encounter with Harmonic Numbers, (2002) Mathematics Magazine, 75 (2) pp 95-103.
• Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 1: Fonamental Algorithms, Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89683-4. Section 1.2.7: Harmonic Numbers, pp.75–79.
• Peter Paule and Carsten Schneider, Computer Proofs of a New Family of Harmonic Number Identities, (2003) Adv. in Appl. Math. 31(2), pp. 359-378.
• Wenchang CHU, A Binomial Coefficient Identity Associated with Beukers' Conjecture on Apery Numbers, (2004) The Electronic Journal of Combinatorics, 11, #N15.