Problema de Basilea

El Problema de Basilea és un famós problema de teoria de números, plantejat per primera volta per Pietro Mengoli, i resolt per Leonhard Euler en 1735. ya que el problema havia resistit els atacs dels matemàtics més importants de l'época, la solució va dur a Euler ràpidament a la fama quan tenia vintihuit anys. Euler va generalisar el problema considerablement, i les seues idees varen ser preses anys despuix per Bernhard Riemann en el seu artícul de 1859 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Sobre la cantitat de número primo menors que una magnitut donada), en a on va definir la seua funció zeta i va demostrar les seues propietats bàsiques. El problema deu el seu nom a la ciutat de residència de Euler (Basilea), ciutat a on vivia també la família Bernoulli, que va tractar el problema sense èxit.

El problema de Basilea consistix en trobar la suma exacta dels inversos dels quadrats dels sancers positius, açò és, la suma exacta de la série infinita:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{n^2})=\frac{{\pi }^2}{6}$

Numèricament, es pot obtindre que la série és aproximadament igual a 1,644934. No obstant, el problema de Basilea busca la suma exacta de la série, de forma tancada, aixina com una demostració de que dita suma és correcta. Euler va trobar que la suma exacta era π²/6 i va anunciar el seu descobriment en 1735. Els seus arguments estaven basats en manipulacions que no estaven encara justificades, i no va ser fins a 1741 quan va poder donar una demostració verdaderament rigorosa.

Encara que és poc conegut, esta suma pot escriure's, en forma d'integral, com a funció de dos variables. A sovint, es coloca com a eixercici per a estudiants de matemàtiques:

$\frac{4}{3}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1-x^2{y}^2}dydx=\frac{{\pi }^2}{6}$

Una atra forma d'expressar esta série és per mig de l'integral d'una sola variable:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (x)}{x-1}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (1-x)}{x}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$

Euler tracta el problema

El método inicial de Euler per a l'obtenció del valor π²/6 és original i ingeniós. En essència, lo que va fer va ser estendre resultats aplicables a polinomis finitos, considerant-los també vàlits per a séries infinites. Està clar que el raonament de Euler requerix justificació, pero encara sense ella, simplement obtenint el valor correcte, va poder verificar-ho numèricament front a sumes parcials de la série. La concordancia observada li va donar suficient confiança com per a anunciar el seu resultat a la comunitat matemàtica.

Per a seguir el raonament de Euler, cal recordar el desenroll en série de Taylor de la funció sen:

$\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

Dividint per x, s'obté

$\frac{\sin (x)}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots$

Ara be, les raïls (zeros) de sense(x)/x es troben precisament en $x=n\cdot \pi$, a on n = ±1, ±2, ±3... Assumixca's que es pot expressar esta série infinita com a producte de factors llineals daus per les raïls, de la mateixa forma que es fa en els polinomis finitos:

$x=n\cdot \pi \iff \frac{x}{n\cdot \pi }=1$ , per tant

$\begin{array}{cc}\frac{\sin (x)}{x}=& (1-\frac{x}{\pi })(1+\frac{x}{\pi })(1-\frac{x}{2\pi })(1+\frac{x}{2\pi })(1-\frac{x}{3\pi })(1+\frac{x}{3\pi })\cdots =\\ =& (1-\frac{x^2}{{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{4{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{9{\pi }^2})\cdots \end{array}$

Realisant este producte i agrupant tots els térmens en x², resulta que el coeficient de x² per a la funció sense(x)/x és

$-(\frac{1}{{\pi }^2}+\frac{1}{4{\pi }^2}+\frac{1}{9{\pi }^2}+\cdots )=-\frac{1}{{\pi }^2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}.$

Pero del desenroll en série de Taylor original de sense(x)/x, s'obté que el coeficient de x² és −1/(3!) = −1/6. Estos dos coeficients deuen ser iguals (per la teorema d'unicitat del desenroll en série); per tant,

$-\frac{1}{6}=-\frac{1}{{\pi }^2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}.$

Multiplicant abdós membres de l'igualtat per −π² obtenim la suma dels inversos dels quadrats dels sancers positius.

La funció zeta de Riemann

Les 30 primeres sumes parcials de la funció zeta de Riemann, per a s = 1 i 2 (número real). Açò correspon a la série harmònica i a la série introduïda en el problema de Basilea.

La funció zeta de Riemann ζ(s) és una de les funcions més importants en matemàtiques, per la seua relació en la distribució dels número primo. La funció està definida per a tot número complex s la part real de la qual siga major que l'unitat (Re(s) > 1) per la següent fòrmula:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}.$

Fent s = 2, es comprova que ζ(2) és igual a la suma dels inversos dels quadrats dels sancers positius.

$\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots \approx \mathrm{1.644934.}$

La suma d'esta série convergix, podent-se demostrar en la següent desigualtat:

$\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}<1+\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n-1)n}=1+\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})=2.$

Açò marca el llímit superior ζ(2) < 2, i com la suma infinita té només térmens positius, deu convergir. Pot demostrar-se que ζ(s) s'expressa en térmens dels números de Bernoulli sempre que s siga un número par positiu.

Referències

• Number Theory: An Approach Through History, Andre Weil, Springer, ISBN 0-8176-3141-0
• Euler: The Master of Us All, William Dunham, MAA, ISBN 0-88385-328-0
• Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, John Derbyshire, Joseph Henry Press, ISBN 0-309-08549-7
• Proofs From the Book, Martin Aigner, Gunter Ziegler, Springer, ISBN 3-540-67865-4
• Riemann's Zeta Function, Harold M. Edwards, Dover, ISBN 0-486-41740-9