Demostració matemàtica

Un dels fragments més antics de Elements de Euclides, un llibre de text utilisat durant mils d'anys per a ensenyar tècniques de demostració d'escritura. El diagrama acompanya el Llibre II, Proposició 5.1.

En matemàtiques, una demostració o be una prova és un argument deductivo per a assegurar la veritat d'una proposició matemàtica. En l'argumentació es poden usar atres afirmacions prèviament establides, tals com teoremes o be les afirmacions inicials o axioma. En principi una demostració es pot rastrejar fins a afirmacions generalment acceptades, conegudes com axioma. Les demostracions són eixemples de raonament deductivo i es distinguixen d'arguments inductivos o empírics; una demostració deu demostrar que una afirmació és sempre verdadera (ocasionalment en llistar tots els casos possibles i mostrar que és vàlida en cada u), més que enumerar molts casos confirmatorios. Una afirmació no provada que es creu verdadera es coneix com conjectura.

Les demostracions ampren la llògica pero normalment inclouen una bona part de llenguage natural, el qual usualment admet alguna ambigüitat. De fet, la gran majoria de les demostracions en les matemàtiques escrites pot ser considerada com a aplicacions de llògica informal rigorosa. Les demostracions purament formals, escrites en llenguage simbòlic en lloc de llenguage natural, es consideren en teoria de la demostració. La distinció entre demostracions formals i informals ha dut a examinar la llògica matemàtica històrica i actual, el cuasi-empirisme matemàtic i el formalisme matemàtic. La filosofia de les matemàtiques concernix al rol del llenguage i la llògica en les demostracions, i en les matemàtiques com a llenguage.

El fet de no conéixer cap demostració d'una teorema no implica la seua no veracitat; solament la demostració de la negació d'este resultat implica que és fals.

Etimologia i història

Vore també: Història de la llògica

Demostració escrita per Euclides en els seus Elements.

La paraula «prova» ve del llatí provara, que significa ‘provar’. Paraules modernes relacionades són les paraules espanyoles «provar» (‘degustar’, ‘olorar’ o ‘ensajar’), «probidad», «probo» (o «proba») i «provabilitat», la paraula alemana probieren (‘intentar’), l'italiana provara (‘intentar’) i les paraules angleses probe i probation. L'us primerenc del terme anglés probity (‘probidad’) significava ‘presentació d'evidència llegal’. Una persona d'autoritat ―que en general era qualsevol persona en molts diners― es dia que era una persona «proba», i la seua evidència pesava més que qualsevol atre testimoni o demostració empírica.

Els arguments de plausibilidad que usaven recursos heurístics tals com a imàgens i analogia varen precedir a la demostració matemàtica estricta. És provable que l'idea de demostrar una conclusió es mostrara primer en conexió en la geometria, la qual originalment significava ‘mida de la terra’ o agrimensura. El desenroll de la demostració matemàtica és el producte primari de la matemàtica Grega antiga, i un de les seues més grans guanys. Tals de Mileto (624-546 a. C.) va demostrar algunes teoremes en geometria. Eudoxo (408-355 a. C.) i Teeteto (417-369 a. C.) varen formular teoremes pero no els varen demostrar. Aristóteles (384-322 a. C.) va dir que les definicions devien descriure el concepte a definir en térmens d'atres conceptes ya coneguts. Les demostracions en matemàtiques varen ser revolucionades per Euclides (300 a. C.), qui va introduir el método axiomàtic que encara s'usa en l'actualitat, escomençant en térmens indefinits i axioma (proposicions concernents als térmens indefinits assumides com evidentment certes, vénen del grec axios, que significa ‘valiós’), i usava estos per a provar teoremes usant llògica deductiva. El seu llibre, els elements, va ser llegit per qualsevol que es considerara educat en l'occident fins a mediats de el XX. En adició a les teoremes familiars en geometria, tals com el teorema de Pitágoras, els elements inclouen una demostració de que la raïl quadrada de dos és irracional i de que hi ha infinits número primo.

Alvanços posteriors varen prendre lloc en les matemàtiques medievals Islàmiques. Mentres que les demostracions gregues primerenques eren sobretot demostracions geomètriques, el desenroll de l'aritmètica i l'àlgebra pels matemàtics Islàmics va permetre demostracions més generals que no depenien de la geometria. En el sigle X d. C., el matemàtic iraquí Al-Hashim va donar a proveir demostracions generals per a números (més que demostracions geomètriques) en considerar multiplicació i divisió entre uns atres «per llínees». Usava este método per a proveir una demostració de l'existència de número irracional.

Una demostració inductiva para seqüències aritmètiques va ser introduïda en l'A el-Fakhri (1000 d. C.) per Al-Karaji, qui la va usar per a provar el teorema del binomi i propietats del triàngul de Pascal. Alhazen també va desenrollar el método de demostració per contradicció, com el primer intent de provar el postulat euclidiano de les paraleles.

La teoria moderna de demostracions tracta a les demostracions com a estructures de senyes definides inductivament. Ya no s'assumix que els axioma són «certs» en cap sentit; açò permet que es creuen teories matemàtiques paraleles en conjunts alterns de axioma (vore Teoria axiomàtica de conjunts i geometria no euclidiana com a eixemples).

Naturalea i propòsit

Com s'havia dit, una demostració s'escriu en llenguage natural, sent esta un argument rigorós en propòsit de convéncer a l'audiència de la veracitat d'una afirmació o definició. El rigor estàndar no és absolut i ha variat a través de l'història. Una demostració pot ser presentada en formes diferents depenent de l'audiència esperada. En la finalitat de guanyar acceptació, una demostració té que complir paràmetros comuns de rigor; un argument considerat vago o incomplet ha de ser rebujat.

El concepte d'una demostració es formalisa en el camp de la llògica matemàtica. Una demostració formal s'escriu en llenguage formal en lloc de llenguage natural. Una demostració formal es definix com una seqüència de fòrmules en un llenguage formal en la qual cada fòrmula és una conseqüència llògica de les precedents. Tindre una definició de demostració formal fa el concepte de demostració amé d'estudiar. De fet, el camp de teoria de demostracions estudia les demostracions formals i les seues propietats, per eixemple, la propietat d'una afirmació de tindre una demostració formal. Una aplicació de la teoria de demostracions és la de mostrar que certes afirmacions indecidibles no poden tindre demostració.

Se supon que la definició de demostració formal està per a capturar el concepte de la demostració tal com s'escriu en la pràctica de la matemàtica. La sonoritat d'esta definició descansa en la creència de que una demostració publicada pugues, en principi, ser convertida en una demostració formal. De tots modos, fòra del camp dels assistents automàtics per a demostracions, açò es fa rarament en la pràctica. Una pregunta clàssica de la filosofia pregunta si les demostracions matemàtiques són analítiques o sintètiques. Kant, qui va introduir la distinció entre analítics i sintètics, creïa que les demostracions en matemàtiques són sintètiques.

Les demostracions poden ser vistes com a objectes estètics, admirades pel seu bellea matemàtica. El matemàtic Paul Erdős va descriure les demostracions que considerava particularment elegants com vingudes de El Llibre, un text hipotètic que supostament conté els métodos més bells de provar cada teorema. L'ensaig Les demostracions de «El llibre», publicat en 2009, presenta 32 demostracions que els seus editors troben particularment satisfactòries.

Vore també

• Bellea matemàtica
• Demostració automàtica de teoremes
• Demostració inválida
• Llista de demostracions incompletes
• Llista de demostracions llargues
• Llista de demostracions matemàtiques
• Demostració no-constructiva
• Demostració per intimidació
• Lo que la tortuga li va dir a Aquiles

Bibliografia

• (1954).«Mathematics and Plausible Reasoning».Princeton University Press..
• (2002).«What Do Mathematicians Want? Probabilistic Proofs and the Epistemic Goals of Mathematicians».Logique et Analyse.45

373–388..

• (2011).«Proof in Mathematics: An Introduction».Kew Books..
• (2004).«How to Read and Do Proofs: An Introduction to Mathematical Thought Processes».Wiley..
• (2006).«How to Prove It: A Structured Approach».Cambridge University Press..