Demostració inválida

En matemàtiques, hi ha múltiples demostracions matemàtiques de contradiccions òbvies. A pesar de que les demostracions són errònees, els errors són sotils, i la major part de les voltes, intencionats. Estes falàcies es consideren normalment meres curiositats, pero poden ser usades per a ilustrar l'importància del rigor en esta àrea.

La majoria d'estes demostracions depenen de variants del mateix error. L'error consistix en usar una funció f que no és biyectiva, per a observar que f(x) = f(i) per a certes x i i, concloent (erròneament) que per tant x = i. La divisió per zero és un cas particular: la funció f és x → x × 0, i el pas erròneu és començar en x × 0 = i × 0 i en això concloure que x = i.

Eixemples

Demostració de que 1 equival a −1

Supongam que estem treballant en el conjunt dels Número complejo i comencem en lo següent:

1=1 és igual a que els elements són reflejantes

Ara, els convertim en fraccions

$\frac{1}{-1}=\frac{-1}{1}$

Aplicant la raïl quadrada en abdós costats obtenim

$\sqrt{\frac{1}{-1}}=\sqrt{\frac{-1}{1}}$

Que equival a

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}$

Pero ya que $i=\sqrt{-1}$ (vore número imaginario), podem substituir-ho, obtenint

$\frac{1}{i}=\frac{i}{1}$

Reordenando l'equació per a eliminar les fraccions, obtenim

$1^2=i^2$

I ya que $i^2=-1$ tenim com a resultat

$1=-1$

Q.E.D.

Esta demostració és una falàcia matemàtica. Si be és correcte que:

$\sqrt{\frac{1}{-1}}=\sqrt{\frac{-1}{1}}$

No és vàlit el pas següent:

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}$

Ya que:

$\sqrt{\frac{1}{-1}}\ne \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}$

Demostració de que 1 és menor que 0

Supongam que

$x<1$

Ara prenem el logaritme en abdós costats de la desigualtat. Podem fer-ho sempre que x > 0, perque els logaritmes creixen monòtonament. Si tenim en conte que el logaritme d'1 és 0, obtindrem

$\ln x<0$

Dividir per ln x dona com a resultat

$1<0$

Q.E.D.

L'error es troba en l'últim pas, la divisió. Este procediment és incorrecte perque en ser x < 1 (per suposició original) el resultat de ln x deu donar un número negatiu. Si dividim abdós membres per un terme negatiu és necessari invertir el símbol de la desigualtat. Per esta raó, el resultat correcte és:

1 > 0.

(Vore la demostració correcta en "Demostració matemàtica)".

Demostració de que 2 equival a 1

Sean a i b dos cantitats iguals. Se seguix que:

a	=	b
a²	=	ab
a² - b²	=	ab - b²
(a - b)(a + b)	=	b(a - b)
a + b	=	b
b + b	=	b
2b	=	b
2	=	1

Q.E.D.

La falàcia es troba de la llínea 4 a la 5: a on sent a=b, en el mateix terme a² - b² s'anulen donant en el mateix terme zero i com la divisió per zero no està definida, la demostració no és vàlida.

L'atra falàcia és que també es demostraria que a = 0, puix si: a + b = b => a = b - b => a = 0

Una atra demostració de que 1 equival a 2

• Per definició de la multiplicació, es té que, per a x ≠ 0,

  $x=1+1+\mathrm{...}+1$ (x térmens)

• Multiplicant abdós costats per x,

  $x^2=x+x+\mathrm{...}+x$ (x térmens)

• Derivant sobre x,

  $2x=1+1+\mathrm{...}+1$ (x térmens)

• Ara be, tornant a la primera llínea, es veu que el costat dret d'eixa igualtat és x, i per lo tant,

  $2x=x$

• Dividint abdós costats per x (la qual cosa és possible, puix que siga un número no significa que x ≠ 0), es té

  $2=1$

Q.E.D.

L'error: en la primera llínea de la suposta demostració es va assumir que x era sancer; dita expressió no té sentit per a números no sancers. Per un atre costat, per a derivar funcions fa falta un domini continu com els reals, no els sancers; per a cada x sancer es té una equació correcta, pero per a derivar abdós costats fa falta una equació de funcions, no de sancers, i la funció x + x +... + x "en x térmens" no té sentit en general (¿cóm es poden tindre x térmens?), en lo que no és derivable.

Una atra forma de vore l'error és que s'estan derivant dos funcions distintes en derivada distinta pero que es intersecan en un punt. En este sentit es confirma que F(x) = G(x) pero s'assumix, erròneament, que F'(x) = G'(x).

Demostració de que 4 equival a 2

4 = 4

Restem a abdós costats de l'equació

4 - 4 = 4 - 4

En un costat factorizamos usant la "suma per la seua diferència" i en l'atre costat es factoriza per 2

(2 - 2) (2 + 2) = 2 (2 - 2)

Cancelem els térmens iguals a cada costat de l'equació (2 - 2)

(2 + 2) = 2

Nos queda com a resultat

4 = 2

Q.E.D.

La falàcia es troba en el pas de la llínea 3 a la 4, ya que implica una divisió per (2 - 2), que és zero. Com la divisió per zero no està definida, la demostració no és vàlida.

Demostració de que a equival a b

Comencem en

a - b = c

Elevem al quadrat abdós costats

a² - 2ab + b² = c²

Com (a - b)(c) = c² = ac - bc, podem reescriure-ho com

a² - 2ab + b² = ac - bc

Si lo reordenamos, obtenim

a² - ab - ac = ab - b² - bc

Factorizamos abdós membres

a(a - b - c) = b(a - b - c)

Dividim abdós membres per (a - b -c)

a(a - b - c) = b(a - b - c)

Al final

a = b

Q.E.D.

La falàcia consistix que si a - b = c, llavors a - b - c = 0, per lo que hem realisat una divisió per zero, que invalida la demostració.

Demostració de que 0 equival a 1

Lo següent és una "demostració" de que 0 és igual a 1

0	=	0 + 0 + 0 +...
	=	(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) +...
	=	1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) +...	(llei associativa)
	=	1 + 0 + 0 + 0 = 1
	=	1

Q.E.D.

L'error es troba que la llei associativa no es pot aplicar lliurement a sumixques infinites a menos que siguen absolutament convergents. Esta última era, segons Guido Ubaldus, la demostració de que Deu existix, ya que s'hi havia "creat" una miqueta del no res. Fòra d'açò, si es poguera aplicar la llei associativa, llavors açò seria vàlit per a tots els números, és dir, tots els números serien iguals a 0, i, per la transitividad de l'igualtat, tots els números serien el mateix número.

Vore també

• Paradoxa