Triàngul de Pascal

En les matemàtiques, el triàngul de Pascal o de Tartaglia és una representació dels coeficients binomiales ordenats en forma de triàngul. És cridat aixina en honor al filòsof i matemàtic francés Blaise Pascal, qui va introduir esta notació en 1652, en el seu Tractat del triàngul aritmètic.^[1] Si be les propietats i aplicacions del triàngul les varen conéixer matemàtics indis, chinencs, perses, alemans i italians abans del triàngul de Pascal, va ser Pascal qui va desenrollar moltes de les seues aplicacions i el primer en organisar l'informació de manera conjunta.^[2]

El triàngul de Tartaglia es pot generalisar a dimensions majors. La versió de tres dimensions es diu piràmide de Pascal o tetraedre de Pascal, mentres que les versions més generals són cridades simplex de Pascal.^[3]

Història

La primera representació explícita d'un triàngul de coeficients binomiales data de el X, en els comentaris dels Chandas Shastra,^[4] un llibre antic indi de prosòdia del sánscrito escrit per Pingala al voltant de l'any 200 a. C.^[5]

Les propietats del triàngul varen ser discutides pels matemàtics perses Al-Karaji (953–1029)^[6] i Omar Khayyám (1048–1131); d'ací que en Iran siga conegut com el triàngul Khayyam-Pascal o simplement el triàngul Khayyam. Es coneixien també moltes teoremes relacionades, inclós el teorema del binomi.

En China, este triàngul era conegut des de el XI pel matemàtic chinenc Jia Xian (1010–1070). En el XIII, Yang Hui (1238–1298) presenta el triàngul aritmètic, equivalent al triàngul de Tartaglia, d'ací que en China se li cride triàngul de Yang Hui.^[7]^[8]^[9]^[10]

Petrus Apianus (1495–1552) va publicar el triàngul en el frontispici del seu llibre sobre càlculs comercials Rechnung^[11] (1527). Est és el primer registre del triàngul en Europa. En Itàlia, se li coneix com el triàngul de Tartaglia, en honor al algebrista italià Niccolò Fontana Tartaglia (1500–1577). També va ser estudiat per Michael Stifel (1486-1567)^[12] i per François Viète (1540-1603).

En el Traité du triangle arithmétique (Tractat del triàngul aritmètic) publicat en 1654, Blaise Pascal reunix varis resultats ya coneguts sobre el triàngul, i els ampra per a resoldre problemes lligats a la teoria de la provabilitat; demostra 19 de les seues propietats, deduïdes en part de la definició combinatòria dels coeficients. Algunes d'estes propietats eren ya conegudes i admeses, pero sense demostració. Per a demostrar-les, Pascal posa en pràctica una versió acabada d'inducció matemàtica. Demostra la relació entre el triàngul i la fòrmula del binomi. Va ser batejat Triàngul de Pascal per Pierre Raymond de Montmort (1708) qui ho va cridar: Taula del Sr. Pascal per a les combinacions, i per Abraham de Moivre (1730) qui ho va cridar: "Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM" (del llatí: "Triàngul aritmètic de Pascal"), que es va convertir en el nom occidental modern.^[13]

Construcció

El triàngul de Tartaglia es construïx seguint un patró com el que es mostra en la figura d'avall. Es comença des del cim en el número «1» cap a avall(infinit), a modo de "arbre"; es classifica en files, escomençant per la fila zero(el «1» del cim). Este "arbre" té nodos, que són cada número que compon el triàngul. Si vàrem sumar dos nodos nos donarà de resultat el nodo situat baix d'estos dos, i aixina successivament.

Les diagonals que escomencen des del «1» situat en el cap del triàngul valen sempre 1.

Us general

Este triàngul va ser ideat per a desenrollar les potencies de binomis. Les potències de binomis vénen donades per la fòrmula: $(a + b)^{n}$ , on a i b són constants qualssevol i n l'exponent que definix potència. Esta expressió es denomina binomi de Newton.

Esta fòrmula del binomi de Newton desenrolla els coeficients de cada fila en el triàngul de Tartaglia. És per açò que existix una estreta relació entre el triàngul de Tartaglia i els binomis de Newton.

Archiu:PascalTriangleAnimated2.gif

Cada número en el triàngul és la suma dels dos que estan situats per damunt d'ell.

Víncul entre el triàngul de Tartaglia i el binomi de Newton

Totes les sifres escrites en cada fila del triàngul corresponen als coeficients del desenroll de les potències del binomi de Newton. Uns eixemples de la série que descriu este comportament són:

(a + b)^{2} = 1 a^{2} + 2 a b + 1 b^{2}

(a + b)^{3} = 1 a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 b^{3}

\dots

En estos eixemples es conclou que la série de l'expressió general que els desenrolla és:

(a + b)^{n} = a^{n} + a^{n - 1} b + a^{n - 2} b^{2} ... + b^{n}

D'esta forma, els coeficients desenrollats de la forma (a+b)ⁿ es troben en la fila «n+1» del Triàngul de Pascal.

També es pot generalisar este resultat per a qualsevol valor de $n \in ℕ$ per inducció matemàtica.

Si a cada nodo d'este triàngul en cada fila ho denominem z, nos quedaria la série que descriu l'expressió general del modo:

(a + b)^{n} = z_{1} a^{n} + z_{2} a^{n - 1} b + z_{3} a^{n - 2} b^{2} ... + z_{n} b^{n}

En esta série $z_{j} \in ℕ$ , on j va des d'1 fins a n.

Combinatoria en el triàngul de Tartaglia

La construcció del triàngul està relacionada en els coeficients binomiales segons la fòrmula (també cridada regla de Pascal) combinatòria. Esta fòrmula o regla explica que els coeficients (nodos de el "arbre") d'una fila donada del triàngul, es poden calcular en la fòrmula combinatòria de combinacions de $n$ elements de $k$ en $k$ ; expressat matemàticament: $(\binom{n}{k})$ , on $n$ és la fila - 1 i $k$ la posició en la fila.

Tot esta proposta de correlato entre combinatoria i el triàngul de Tartaglia ve donada per la regla general abans mencionada:

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k} para todo 0 \leq k \leq n; n, k \in ℕ

Per eixemple, per al binomi $(a + b)^{3}$ , tindríem lo següent:

Quedarien quatre nodos (elements composts per a, b i coeficient corresponents) en l'equació desenrollada del binomi, número el qual es referix a la fila en la que es troba:

(a + b)^{3} = 𝟏 a^{3} + 𝟑 a^{2} b + 𝟑 a b^{2} + 𝟏 b^{3}

Si expressem els coeficients del triàngul de la forma combinatòria quedaria lo següent:

\begin{matrix} (\binom{0}{0}) \\ (\binom{1}{0}) & (\binom{1}{1}) \\ (\binom{2}{0}) & (\binom{2}{1}) & (\binom{2}{2}) \\ (\binom{3}{0}) & (\binom{3}{1}) & (\binom{3}{2}) & (\binom{3}{3}) & \leftarrow fila correspondiente a (a + b)^{3} \\ (\binom{4}{0}) & (\binom{4}{1}) & (\binom{4}{2}) & (\binom{4}{3}) & (\binom{4}{4}) \\ (\binom{5}{0}) & (\binom{5}{1}) & (\binom{5}{2}) & (\binom{5}{3}) & (\binom{5}{4}) & (\binom{5}{5}) \end{matrix}

El triàngul corresponent del qual seria:

\begin{matrix} (a + b)^{0} ⟶ & 1 \\ (a + b)^{1} ⟶ & 1 & 1 \\ (a + b)^{2} ⟶ & 1 & 2 & 1 \\ (a + b)^{3} ⟶ & 1 & 3 & 3 & 1 \\ (a + b)^{4} ⟶ & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \\ (a + b)^{5} ⟶ & 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{matrix}

Desenrollant els binomis de Newton:

(a + b)^{0} = 1

(a + b)^{1} = a + b

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

(a + b)^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}

(a + b)^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}

\dots

Propietats

Archiu:Triángulo de Pascal colores.png

Triàngul de Pascal en algunes caselles coloreadas. Es pot observar com es distribuïxen els valors simétricamente al voltant de l'eix vertical. Els valors de les caselles d'abdós costats (en groc, vert i roig) tenen el mateix valor per la propietat de simetria

(\binom{n}{n - p}) = (\binom{n}{p})

. Les caselles exteriors (en blava), tenen valor nul, i les caselles en violeta, proporcionen un eixemple de la regla de Pascal.

Una volta assentades les bases de l'intrínsec correlato existent entre estos dos camps de les matemàtiques, vegen-se les propietats d'estos.

Esta image representa el triàngul de Pascal matricialmente, i ademés aplicable a combinatoria. Cada u dels valors d'un triàngul de Pascal escrits en forma de taula corresponen a un coeficient de l'expansió d'una potencia de sumes. Concretament, el número de la fila n i la columna p, correspon a $(\binom{n}{p})$ , o també denotat com $𝐂_{n}^{p}$ ( $𝐂$ per "combinació") i es diu «n sobre p», «combinació de n en p» o «coeficient binomial n, p». Les caselles buides corresponen a valors nuls (0). Usant les propietats dels coeficients binomiales, es poden obtindre les següents propietats de qualsevol triàngul de Pascal en tot rigor:

Els valors de cada fila del triàngul guarden simetria respecte a l'eix vertical imaginari del mateix, degut a que $(\binom{n}{n - p}) = (\binom{n}{p}) .$

Els valors corresponents a la zona fòra del triàngul tenen valor 0, ya que $(\binom{n}{p}) = 0$ quan $p > n$ .

I clar, la regla de Pascal de construcció del triàngul dona la relació fonamental dels coeficients binomiales $(\binom{n}{p}) + (\binom{n}{p + 1}) = (\binom{n + 1}{p + 1}) .$

Una conseqüència interessant del triàngul de Pascal és que la suma de tots els valors d'una fila qualsevol del triàngul és una potència de 2. Açò es deu a que, per la teorema del binomi, l'expansió de la n-potencia de $(1 + 1)^{n} = 2^{n}$ és

(\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) + \dots + (\binom{n}{n - 1}) + (\binom{n}{n}) = 2^{n},

que correspon precisament en la suma de tots els valors de la n-ésima fila d'un triàngul de Pascal.

Archiu:Sierpinski Gasket in Pascal's Triangle.gif

Aproximació al triàngul de Sierpinski obtinguda coloreando de negre les caselles del Triàngul de Pascal que contenen un número par i de gris aquelles que contenen un número impar.

Referències

↑ Traité du triangle arithmétique.
↑ .Peter Fox (1998). Cambridge University Library: the great collections, Cambridge University Press, pp. 13. ISBN 978-0-521-62647-7.
↑ «practi37a.doc» (en és). calameo.com. Consultat el 2023-06-17.
↑ Chhanda Sutra (en Hindi), p. 204.
↑ A. W. F. Edwards. Pascal's arithmetical triangle: the story of a mathematical idea. JHU Press, 2002, pp. 30–31.
↑ Plantilla:Obra citada/núcleo.
↑ Weisstein, E. W. (2003). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, p. 2169. ISBN 978-1-58488-347-0
↑ Hemenway, Priya (2008). El Còdic Secret, Evergreen.
↑ The American Mathematical Monthly.103(1)
1–17.doi:10.2307/2975209.
↑ (en anglés) V. J. Katz, A History Of Mathematics: An Introduction, 1992 (de Binomial Theorem and the Pascal Triangle, UniSA)
↑ Site de Gérard Vilemin
↑ Henri Bosmans, Nota històrica sobre el triàngul aritmètic Plantilla:PDF
↑ Plantilla:Harv

Este artícul conté una traducció derivada de «Triángulo de Pascal» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Traité du triangle arithmétique.

[roots-2] .Peter Fox (1998). Cambridge University Library: the great collections, Cambridge University Press, pp. 13. ISBN 978-0-521-62647-7.

[3] «practi37a.doc» (en és). calameo.com. Consultat el 2023-06-17.

[4] Chhanda Sutra (en Hindi), p. 204.

[5] A. W. F. Edwards. Pascal's arithmetical triangle: the story of a mathematical idea. JHU Press, 2002, pp. 30–31.

[Karaji-6] Plantilla:Obra citada/núcleo.

[7] Weisstein, E. W. (2003). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, p. 2169. ISBN 978-1-58488-347-0

[8] Hemenway, Priya (2008). El Còdic Secret, Evergreen.

[9] The American Mathematical Monthly.103(1)
1–17.doi:10.2307/2975209.

[10] (en anglés) V. J. Katz, A History Of Mathematics: An Introduction, 1992 (de Binomial Theorem and the Pascal Triangle, UniSA)

[11] Site de Gérard Vilemin

[12] Henri Bosmans, Nota històrica sobre el triàngul aritmètic Plantilla:PDF

[13] Plantilla:Harv

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]