Símplex

Per a l'algoritme del mateix nom vore Algoritme símplex.

En geometria, un símplex o n-símplex (o símplice) és l'anàlec en n dimensions d'un triàngul. Més exactament, un símplex és l'envoltura convexa d'un conjunt de (n + 1) punts independents afins en un espai euclídeo de dimensió n o major, és dir, el conjunt de punts tal que cap m-pla conté més que (m + 1) d'ells. Es diu d'estos punts que estan en posició general.

Per eixemple, un 0-símplex és un punt; un 1-símplex un segment d'una llínea; un 2-símplex un triàngul; un 3-símplex és un tetraedre; i un 4-símplex és un pentácoron (en cada cas, en el seu interior).

Un símplex regular és també un politopo regular. Un n-símplex regular pot construir-se a partir d'un (n-1)-símplex regular conectant un nou vèrtiç a tots els vèrtiços originals per la llongitut comuna del costat.

La envoltura convexa de qualssevol m dels n punts també és un símplex, cridat una m-cara. Les 0-cares es diuen vèrtiços; les 1-cares, costats; les (n-1)-cares es diuen facetes; i l'única n-cara és el n-símplex en sí. Per lo tant, el número de m-cares d'un n-símplex pot trobar-se en la columna (m + 1) de la fila (n + 1) del Triàngul de Pascal.

Una manera de trobar el volum d'un símplex és per mig dels determinants de Cayley-Menger.

Símplex estàndar

El n-símplex estàndar és el subconjunt de Rⁿ⁺¹ dau per:

Llevant la restricció t_i ≥ 0 en la condició anterior dona una n-dimensional subespacio afí de Rⁿ⁺¹ contenint el n-símplex estàndar. Les coordenades t_i es diuen coordenades baricéntricas. Els vèrtiços del n-símplex estàndar són els punts:

i₀ = (1, 0, 0, …, 0),

i₁ = (0, 1, 0, …, 0),

⋮

i_n = (0, 0, 0, …, 1).

Eixe és un mapa canònic des del n-símplex estàndar per a un n-símplex arbitrari en vèrtiços (v₀, …, v_n) donat para

(t_{0}, \dots, t_{n}) \mapsto Σ_{i} t_{i} v_{i}

Els coeficients t_i es diuen coordenades baricéntricas d'un punt en el n-símplex. Este símplex general a sovint es diu n-símplex afí, per a emfatisar el mapa canònic és una transformació afí. A voltes també es diu n-símplex afí orientat per a emfatisar que el mapa canònic pot ser d'orientació preservada o revertit.

n-Volum d'un símplex

Si es té un n-símplex en vèrtiços n+1 vèrtiços ${(x_{1}^{(i)}, \dots, x_{n}^{(i)}), 1 \leq i \leq n + 1}$ el n-volum es calcula per mig de la fòrmula de Lagrange:

Vore també

Este artícul conté una traducció derivada de «Símplex» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.