Coordenades baricéntricas (n-simplex)

Les coordenades baricéntricas permeten parametrizar per mig de n+1 número real en l'interval [0,1] l'interior d'un n-simplex. En realitat, de les n+1 coordenades baricéntricas solament n són independents, ya que la suma de totes és igual a un.

Triàngul

Coordenades baricéntricas $({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$ en un triàngul equilátero i en un triàngul recte

Com a eixemple introductori es considera un triàngul en el pla euclídeo ${𝔼}^2$ de vèrtiços $\text{A}=(x_A,y_A)$, $\text{B}=(x_B,y_B)$ i $\text{C}=(x_C,y_C)$, llavors qualsevol punt de l'interior del triàngul $\text{P}=(x,y)$ pot ser representat per tres coordenades baricéntricas $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ tals que:

$\alpha +\beta +\gamma =1$

A on la relació entre les coordenades cartesianas i les baricéntricas ve donada per:

Ara ya es poden introduir les coordenades baricéntricas de l'Enciclopèdia dels Centres del Triàngul de Clark Kimberling. Dita web conta en mils de centres en coordenades baricéntricas i trilineales. Normalment solament apareix la 1ª (alfa), pero en ser homogénees es poden deduir les atres 2 permutant les lletres de la 1ª, per eixemple, el punt P = $a(b-c)$ : : , correspon a les coordenades $\alpha =a(b-c)$, $\beta =b(c-a)$, $\gamma =c(a-b)$. $P=(a(b-c):b(c-a):c(a-b))$. És dir, solament hi ha 3 lletres: a,b,c ya que el triàngul solament té 3 costats, i cada lletra correspon a la llongitut d'un costat. Si escomença en l'a, la següent és la b, i l'última la c. Si comença en la b, la següent és la c i la següent, com no hi ha d, recomienza en l'a. Si comença en la c, en ser una triada cíclica, la següent és l'a i despuix la b. Si el punt o centre Kimberling vinguera en coordenades trilineales, basta convertir-les a baricéntricas multiplicant cada una per una lletra distinta: a,b,c. Eixemple: $\alpha *a$, $\beta *b$, $\gamma *c$.

En concret el costat $\text{AB}$ es caracterisa per tindre $\gamma =0$, el costat $\text{BC}$ té $\alpha =0$, i el costat $\text{CA}$ $\beta =0$. El baricentre coincidirà en el punt $(\alpha ,\beta ,\gamma )=(1/3,1/3,1/3)$. El triàngul estarà format per tots els punts del conjunt T:

El costat a (opost al vèrtiç A) serà el conjunt de punts:

i análogamente els costats b i c per lo que la frontera del triàngul estarà formada pels punts tals que alguna de les seues coordenades baricéntricas siga zero. I els vèrtiços satisfan que una de les seues coordenades baricéntricas és un i les atres són nules.

Tetraedre

La construcció anterior pot ampliar-se a un tetraedre, no necessàriament regular, en l'espai euclídeo ${𝔼}^3$. Si els vèrtiços del tetraedre en qüestió són $\text{A}=(x_A,y_A,z_A)$, $\text{B}=(x_B,y_B,z_B)$, $\text{C}=(x_C,y_C,z_C)$ i $\text{D}=(x_D,y_D,z_D)$, llavors qualsevol punt de l'interior del tetraedre $\text{P}=(x,y,z)$ pot ser representat per quatre coordenades baricéntricas $(t_A,t_B,t_C,t_D)$ tals que:

A on la relació entre les coordenades cartesianas i les baricéntricas ve donada per:

El baricentre coincidirà en el punt $(t_A,t_B,t_C,t_D)=(1/4,1/4,1/4,1/4)$. Donat un punt P si cap de les coordenades baricéntricas és zero $t_A\ne 0,t_B\ne 0,t_C\ne 0,t_D\ne 0$ el punt serà un interior, si solament una d'elles és zero serà un punt interior a una de les cares del tetraedre, si dos i solament dos de les coordenades baricéntricas són zero el punt serà l'interior d'una aresta i si tres de les coordenades baricéntricas són zero (i per tant l'atra igual a 1) el punt serà un vèrtiç.