Teorema del binomi

En matemàtiques, la teorema del binomi és una fòrmula que proporciona el desenroll de la $n$ -ésima potencia d'un binomi, sent $n \in ℤ^{+}$ . D'acort en la teorema, és possible expandir la potencia $(x + y)^{n}$ en una suma que implica térmens de la forma $a x^{b} y^{c}$ , a on els exponents $b, c \in ℕ$ , és dir, són número natural en $b + c = n$ , i el coeficient $a$ de cada terme és un número entero positiu que depén de $n$ i $b$ . Quan un exponent és zero, la corresponent potència és usualment omesa del terme.

El coeficient $a$ en els térmens de $x^{b} y^{c} - x^{c} y^{b}$ és conegut com el coeficient binomial $(\binom{n}{b})$ o $(\binom{n}{c})$ (els dos tenen el mateix valor).

Teorema

Esta teorema establix que qualsevol potència d'un binomi $x + y$ , en xy distint de 0, pot ser expandida en una suma de la forma:

\begin{matrix} (x + y)^{n} & = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k} \\ = (\binom{n}{0}) x^{n} + (\binom{n}{1}) x^{n - 1} y + (\binom{n}{2}) x^{n - 2} y^{2} + \dots + (\binom{n}{n - 1}) x y^{n - 1} + (\binom{n}{n}) y^{n} \end{matrix}

a on

(\binom{n}{k})

és el coeficient binomial, el qual representa el número de formes de triar $k$ elements d'un conjunt en $n$ elements: les k-combinacions d'un conjunt de n elements.

Usant la fòrmula de càlcul de dit coeficient, s'obté la següent equació:

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{n!}{k! (n - k)!} x^{n - k} y^{k}

Per a obtindre l'expansió de les potències d'una resta, n'hi ha prou en prendre $- y$ en lloc de $y$ en els térmens en potències impars:

(x - y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} \frac{n!}{k! (n - k)!} x^{n - k} y^{k}

Eixemples

Com a eixemples, per a $n = 2, 3, 4, 5$ , utilisant els coeficients del triàngul de Pascal s'obtenen estos resultats:

\begin{matrix} (x + y)^{2} & = x^{2} + 2 x y + y^{2} \\ (x + y)^{3} & = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3} \\ (x + y)^{4} & = x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4} \\ (x + y)^{5} & = x^{5} + 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + y^{5} \\ (x + y)^{n} & = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k} \end{matrix}

Teorema generalisada del binomi (Newton)

Isaac Newton va generalisar la fòrmula per a exponents reals, considerant una série infinita:

(x + y)^{r} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{r}{k}) x^{r - k} y^{k}

a on $r$ pot ser qualsevol número real, no necessàriament positiu ni sancer, i els coeficients estan donats pel producte:

(\binom{r}{k}) = \frac{1}{k!} \prod_{n = 0}^{k - 1} (r - n) = \frac{r (r - 1) (r - 2) \dots (r - k + 1)}{k!}

L'expansió per a la potència recíproca és la següent:

\frac{1}{(1 - x)^{r}} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{r + k - 1}{k}) x^{k}

La suma en (3) convergix i l'igualtat és verdadera sempre que els número real o complexos $x$ i $y$ siguen suficientment propencs, en el sentit de que el valor absolut de $\frac{x}{y}$ siga menor que un.

Vore també

Referències

Bibliografia

(1966).«Binomial theorem in ancient Índia».Indian J. History Sci.1(1)

68–74.

«Computing Cavalieri's Quadrature Formula by a Symmetry of the n-Cube».The American Mathematical Monthly.Mathematical Association of America.111(9)

811–813.ISSN 0002-9890.doi:10.2307/4145193.Consultat el 19 de decembre de 2011.

(1994) «(5) Binomial Coefficients», Concrete Mathematics, 2 edició, Addison Wesley, p. 153–256. OCLC 17649857. ISBN 0-201-55802-5.
Solomentsev, E.D. (2001), "^{[enllaç trencat]}", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

«Isaac Newton - Teorema del binomi».

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema del binomio» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.