Factorial

$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40.320
9	362.880
10	3.628.800
15	1.307.674.368.000
20	2.432.902.008.176.640.000
25	15.511.210.043.330.985.984.000.000
50	30.414.093.201.713.378.043 × 10⁴⁵
70	1,19785717... × 10¹⁰⁰
450	1,73336873... × 10¹⁰⁰⁰
3.249	6,41233768... × 10^{10 000}
25.206	1,205703438... × 10^{100 000}
100.000	2,8242294079... × 10^{456 573}
205.023	2,5038989316... × 10^{1 000 004}
1.000.000	8,2639316883... × 10^{5 565 708}
10¹⁰⁰	1,6294043324... × 10^10¹⁰¹

El factorial d'un sancer positiu n, el factorial de n o n factorial es definix en principi com el producte de tots els número entero positius des d'1 (és dir, els número natural) fins a n. Per eixemple:

5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120.

L'operació de factorial apareix en moltes àrees de les matemàtiques, particularment en combinatòria i anàlisis matemàtic.

De manera fonamental el factorial de n representa el número de formes distintes d'ordenar n objectes distints (elements sense repetició). Este fet ha segut conegut des de fa varis sigles, en el XII pels estudiosos hindús.

La definició de la funció factorial també es pot estendre a números no naturals mantenint les seues propietats fonamentals, pero es requerixen matemàtiques alvançades, particularment del anàlisis matemàtic. El matemàtic francés Christian Kramp (1760-1826) va ser la primera persona en usar l'actual notació matemàtica n!, en 1808.^[1]

Els factorials han segut descoberts en vàries cultures antigues, especialment en les matemàtiques índies en les obres canòniques de la lliteratura jainista, i pels místics judeus en el llibre talmúdico Sefer Yetzirah. L'operació factorial es troba en moltes àrees de les matemàtiques, sobretot en combinatòria, a on el seu us més bàsic conta les possibles seqüèncias distintes —les #permutació— de $n$ objectes distints: hi ha $n!$ . En anàlisis matemàtic, els factorials s'utilisen en séries de potències per a la funció exponencial i atres funcions, i també tenen aplicacions en àlgebra, teoria de números, teoria de la provabilitat i informàtica.

Gran part de la matemàtica de la funció factorial es va desenrollar a partir de finals de el XVIII i principis de el XIX.

l'aproximació de Stirling proporciona una aproximació exacta al factorial dels grans números, demostrant que creix més ràpidament que el creiximent exponencial. La fòrmula de Legendre descriu els exponents dels número primo en una factorización primera dels factorials, i pot utilisar-se per a contar els zeros finals dels factorials. Daniel Bernoulli i Leonhard Euler interpolaron la funció factorial a una funció contínua de número complejo, llevat en els sancers negatius, la funció gamma (compensada).

Moltes atres funcions notables i seqüències de números estan estretament relacionades en els factorials, incloent el coeficient binomial, doble factorial, factorial descendent, primorial, i subfactorial. Les implementacions de la funció factorial s'utilisen habitualment com a eixemple de diferents estils de programació informàtica, i s'inclouen en calculadores científiques i biblioteques de software de càlcul científic. Encara que calcular directament factorials grans utilisant la fòrmula del producte o la recurrencia no és eficient, es coneixen algoritmes més ràpits, que igualen en un factor constant el temps dels algoritmes de multiplicació ràpits per a números en el mateix número de dígits.

Història

El concepte de factorials ha sorgit de forma independent en moltes cultures: En les matemàtiques índies, una de les primeres descripcions conegudes dels factorials prové del Anuyogadvāra-sūtra,^[2] una de les obres canòniques de la lliteratura jainista, a la que s'han assignat dates que varien entre 300 a. C. i 400 d. C.^[3] Separa l'orde ordenat i invertit d'un conjunt d'elements dels atres órdens ("mixts"), evaluant el número d'órdens mixts restant dos de la fòrmula habitual del producte per al factorial. La regla del producte per a #permutació també va ser descrita pel monge jainista de el VI de nostra era Jinabhadra.^[2] Els erudits hindús han estat utilisant fòrmules factorials des d'a lo manco 1150, quan Bhāskara II va mencionar factorials en la seua obra Līlāvatī, en relació en un problema de quantes maneres Vishnu podria sostindre els seus quatre objectes característics (un closca de closca, disc, maza, i flor de loto) en les seues quatre mans, i un problema similar per a un deu de dèu mans.^[4] En les matemàtiques d'Orient Mig, el llibre místic hebreu de la creació Séfer Ietzirá', del Periodo talmúdico (200 a 500 CE), enumera factorials fins a 7! com a part d'una investigació sobre el número de paraules que es poden formar a partir del alfabet hebreu.^[5]^[6] Els factorials també varen ser estudiats per raons similars pel gramàtic àrap del sigle VIII Al-Khalil ibn Ahmad al-Farahidi.^[5] El matemàtic àrap Ibn al-Haytham (també conegut com Alhazen, c. 965 - c. 1040) va ser el primer en formular el teorema de Wilson que conecta els factorials en els número primo.^[7]

En Europa, encara que la matemàtica grega incloïa una miqueta d'combinatoria, i Platón va utilisar célebremente 5040 (un factorial) com a població d'una comunitat ideal, en part per les seues propietats de divisibilidad,^[8] no hi ha evidència directa de l'estudi dels factorials en la Grècia antiga. En el seu lloc, el primer treball sobre factorials en Europa va ser realisat per erudits judeus com Shabbethai Donnolo, explicant el passage del Sefer Yetzirah.^[9] En 1677, l'autor britànic Fabian Stedman va descriure l'aplicació dels factorials al toc de canvis, un art musical que consistia en fer sonar vàries campanes afinadas.^[10]^[11]

A partir de finals de el XV, els factorials es varen convertir en objecte d'estudi dels matemàtics occidentals. En un tractat de 1494, el matemàtic italià Luca Pacioli va calcular factorials fins a 11!, en relació en un problema d'ordenació de taules de menjador.^[12] Christopher Clavius va discutir els factorials en un comentari de 1603 sobre l'obra de Johannes de Sacrobosco, i en la década de 1640, el polímata francés Marin Mersenne va publicar grans (pero no del tot correctes) taules de factorials, fins a 64!, basades en l'obra de Clavius.^[13] La série de potències per a la funció exponencial, en els recíprocs de factorials per als seus coeficients, va ser formulada per primera volta en 1676 per Isaac Newton en una carta a Gottfried Wilhelm Leibniz.^[14] Atres obres importants de les primeres matemàtiques europees sobre factorials inclouen una àmplia cobertura en un tractat de 1685 per John Wallis, un estudi dels seus valors aproximats per a grans valors de $n$ per Abraham de Moivre en 1721, una carta de 1729 de James Stirling a de Moivre en la que s'enunciava lo que es va conéixer com aproximació de Stirling, i el treball en la mateixa época de Daniel Bernoulli i Leonhard Euler formulant l'extensió contínua de la funció factorial a la funció gamma.^[15] Adrien-Marie Legendre va incloure la fòrmula de Legendre, que descriu els exponents en la factorización de factorials en potències primers, en un text de 1808 sobre teoria de números.^[16]

La notació $n!$ per als factorials va ser introduïda pel matemàtic francés Christian Kramp en 1808.^[17] També s'han utilisat moltes atres notacions. Una atra notació posterior, en la que l'argument del factorial estava semicerrado pels costats esquerre i inferior d'una caixa, va ser popular durant algun temps en Gran Bretanya i Amèrica, pero va caure en desús, tal volta perque és difícil de tipografiar.^[17] La paraula "factorial" (originalment en francés: factorielle) va ser utilisada per primera volta en 1800 per Louis François Antoine Arbogast,^[18] en el primer treball sobre la fòrmula de Faà vaig donar Bruno,^[19] sino que es referix a un concepte més general de productes de progressió aritmèticas. Els "factors" als que es referix este nom són els térmens de la fòrmula del producte per al factorial.^[20]

Definició per producte i inducció

Podem definir el factorial d'un número entero positiu n, expressat n!, com el producte de tots els número entero positius menors o iguals que n.

n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times ... \times (n - 1) \times n

.

La multiplicació anterior també es pot representar utilisant l'operador productorio:

n! = \prod_{k = 1}^{n} k

.

També és possible definir-ho per mig de la relació de recurrencia

n! = {\begin{matrix} 1 & si, n < 2 \\ (n - 1)! \times n & si, n > 1 \end{matrix}

En esta segona definició el domini de la funció és el conjunt dels sancers no negatius ℤ_≥0 i el codominio és el conjunt dels sancers positius ℤ₊.^[21] En este cas hi ha una successió recurrent, el càlcul successiu dels seus elements es diu procés recurrent i l'igualtat n! = (n - 1)!n es nomena equació recurrent.^[22]

La segona definició incorpora la premissa de que

0! = 1

Zero factorial

Una extensió comuna, no obstant, és la definició de factorial de zero. D'acort en la convenció matemàtica de producte buit, el valor de 0! deu definir-se com:

0! = 1

És possible, no obstant, donar un argument intuïtiu per a justificar l'elecció, com seguix:

Per a cada número entero positiu n major o igual que 1, és possible determinar el valor del factorial anterior per mig de l'us de la següent identitat:

[(n - 1)! = \frac{n!}{n}] = [n \cdot (n - 1)! = n!]

vàlida per a tot número major o igual que 1.

Aixina, si es coneix que 5! és 120, llavors 4! és 24 perque

\frac{5!}{5} = \frac{120}{5} = 24

i per tant 3! deu ser necessàriament 6 lloc que

\frac{4!}{4} = \frac{24}{4} = 6

El mateix procés justifica el valor de 2! = 2 i 1! = 1 ya que:

2! = \frac{3!}{3} = \frac{6}{3} = 2, 1! = \frac{2!}{2} = \frac{2}{2} = 1

Si apliquem la mateixa regla per al cas en que n = 1 tindríem que 0! correspon a:

0! = \frac{1!}{1} = \frac{1}{1} = 1

Encara que l'argument pot resultar alguna cosa convincent, és important tindre en conte que no és més que un argument informal i que la raó real per la qual es pren la convenció de 0! = 1 és per ser un cas especial de la convenció de producte buit usada en moltes atres branques de les matemàtiques.

Propietats

Si m i n són sancers positius i m < n implica que m! < n!

Si m < n resulta que m! és factor o divisor els quals .. de n! i es té: n! = n(n-1)...(m+1).m! (1)
El número n(n-1)...(m+1) és el producte dels n-m factors exposts majors de n!
n-m és menor que n i reemplaçant en (1) s'obté n! = n(n-1)...(n-m+1).(n-m)!^[23]
$n! < {(\frac{n + 1}{2})}^{n}$ , per a n> 1. S'aplica propietat de que la mija geomètrica dels primers sancers positius no excedix a la mija aritmètica d'ells.

Aplicacions

Els factorials s'usen molt en la branca de la matemàtica cridada combinatòria, a través del binomi de Newton, que dona els coeficients de la forma desenrollada de (a + b)ⁿ:

(a + b)^{n} = (\binom{n}{0}) a^{n} + (\binom{n}{1}) a^{n - 1} b + (\binom{n}{2}) a^{n - 2} b^{2} + \dots + (\binom{n}{n - 1}) a b^{n - 1} + (\binom{n}{n}) b^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k}

a on $(\binom{n}{k})$ representa un coeficient binomial:

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}

D'igual forma es pot trobar en la derivació per la regla del producte per a derivades d'orde superior de manera similar que el binomi de newton:

\frac{d^{n} x}{d x^{n}} (f (x) g (x)) = (f g)^{(n)} = (\binom{n}{0}) f g^{(n)} + (\binom{n}{1}) f^{'} g^{(n - 1)} + (\binom{n}{2}) f^{'^{'}} g^{(n - 2)} + \dots + (\binom{n}{n - 1}) f^{(n - 1)} g^{'} + (\binom{n}{n}) f^{(n)} g = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) f^{(k)} g^{(n - k)}

A on f⁽ⁿ⁾ és la derivada enèsima de la funció f.

Per mig de la combinatoria, els factorials intervenen en el càlcul de les provabilitatés. Intervenen també en l'àmbit del anàlisis, en particular a través del desenroll polinomial de les funcions (fòrmula de Taylor). Es generalisen als reals en la funció gamma, de gran importància en la teoria de números.

Per a valors grans de n, existix una expressió aproximada per al factorial de n, donat per la fòrmula de Stirling:

n! \approx \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n} (1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^{2}} + \dots)

La ventaja d'esta fòrmula és que no precisa inducció i, per lo tant, permet evaluar n! més ràpidament quan major siga n.

Extensió

Artícul principal → Funció gamma.

La definició indicada de factorial és vàlida per a números no negatius. És possible estendre la definició a atres contexts introduint conceptes més sofisticats, en especial és possible definir-la per a qualsevol número real llevat para els número entero negatius i per a qualsevol número complejo exceptuant de nou els número entero negatius. El factorial de n és generalisat per a qualsevol número real n per la funció gamma de manera que

Γ (n) = (n - 1)! = \int_{0}^{\infty} t^{n - 1} e^{- t} d t

solament per a n > 0. Es pot generalisar encara més, per a tot número complejo z que no siga igual a un sancer no positiu, per mig de la següent definició:

Γ (z) = (z - 1)! = \lim_{n \to \infty} \frac{n! n^{z}}{z (z + 1) \dots (z + n)}

Productes similars

Primorial

El primorial Plantilla:OEIS es definix de forma similar al factorial, pero solament es pren el producte dels número primo menors o iguals que n:

n # = \prod_{\binom{p \leq n}{p primo}} p

.

Doble factorial

Artícul principal → doble factorial.

Es definix el doble factorial de n per mig de la relació de recurrencia:

n!! = {\begin{matrix} 1 & si & n = 0 \\ (n - 2)!! \cdot n & si & n \neq 0 \end{matrix}

Per eixemple:

8!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 = 384

9!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 = 945

La successió de dobles factorials Plantilla:OEIS para:

n = 0, 1, 2, \dots

Escomença aixina:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, \dots

La definició anterior pot estendre's per a definir el doble factorial de números negatius:

(n - 2)!! = \frac{n!!}{n}

I esta és la successió de dobles factorials para:

n = - 1, - 3, - 5, - 7, \dots

1, - 1, \frac{1}{3}, - \frac{1}{15}, \dots

El doble factorial d'un número negatiu parell no està definit.

Algunes identitats dels dobles factorials:

$n! = n!! (n - 1)!!$
$(2 n)!! = 2^{n} n!$
$(2 n + 1)!! = \frac{(2 n + 1)!}{(2 n)!!} = \frac{(2 n + 1)!}{2^{n} n!}$
$(2 n - 1)!! = \frac{(2 n - 1)!}{(2 n - 2)!!} = \frac{(2 n)!}{2^{n} n!}$
$Γ (n + \frac{1}{2}) = \sqrt{π} \frac{(2 n - 1)!!}{2^{n}}$
$Γ (\frac{n}{2} + 1) = \sqrt{π} \frac{n!!}{2^{(n + 1) / 2}}$

Vore també

Referències i cites

↑ (2008).«Number Story: From Counting to Cryptography».Copernicus.New York:
↑ ^2,0 ^2,1 (2019) Studies in Indian Mathematics and Astronomy: Artículs seleccionats de Kripa Shankar Shukla, Springer Singapore, pp. 356-376.. Revisat per K. S. Shukla a partir d'un artícul publicat en Indian Journal of History of Science 27 (3): 231-249, 1992, Plantilla:MR. Vore p. 363.
↑ Jadhav, Dipak. “Jaina Thoughts on Unity Not Being a Number”. History of Science in South Àsia 9: 209-231. University of Alberta Libraries. doi:10.18732/hssa67.. Vore la discussió de la datació en la p. 211.
↑ Biggs, Norman L.. “Les raïls de la combinatoria”. Història Mathematica 6 (2): 109-136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0.
↑ ^5,0 ^5,1 Katz, Victor J.. “Ethnomathematics in the classroom”. Per a l'Aprenentage de les Matemàtiques 14 (2): 26-30.
↑ Sefer Yetzirah en Wikisource, Capítul IV, Secció 4
↑ Rashed, Roshdi (1980). “Ibn al-Haytham et li théorème de Wilson” (fr). Archiu d'Història de les Ciències Exactes 22 (4): 305-321.
↑ Acerbi, F. (2003). “On the shoulders of Hipparchus: a reappraisal of ancient Greek combinatorics”. Archiu d'Història de les Ciències Exactes 57 (6): 465-502. doi:10.1007/s00407-003-0067-0.
↑ Katz, Victor J.. Combinatòria: Ancient & Modern, Oxford University Press, pp. 109-121. ISBN 978-0-19-965659-2.
↑ Hunt, Katherine (1 de maig 2018). “The Art of Changes: Bell-Ringing, Anagrams, and the Culture of Combination in Seventeenth-Century England”. Journal of Medieval and Early Modern Studies 48 (2): 387-412. doi:10.1215/10829636-4403136.
↑ Stedman, Fabian (1677). Campanalogia, pp. 6-9.} L'editor apareix com "W.S.", que pot haver segut William Smith, possiblement actuant com a agent de la Societat de Jóvens Universitaris, a la societat dels quals va dirigida la "Dedicatòria".
↑ Knobloch, Eberhard. Combinatòria: Ancient & Modern, Oxford University Press, pp. 123-145. ISBN 978-0-19-965659-2. Vore p. 126.
↑ Knobloch, 2013.
↑ (1990) aneu=Z53SBwAAQBAJ&pg=PA131 Numbers (vol. 123), New York: Springer-Verlag, p. 131. doi:10.1007/978-1-4612-1005-4. ISBN 0-387-97202-1.
↑ Dutka, Jacques (1991). “L'història primerenca de la funció factorial”. Archiu d'Història de les Ciències Exactes 43 (3): 225-249. doi:10.1007/BF00389433.
↑ Dickson, Leonard I. (1919). Història de la Teoria de Números (vol. 1), Institució Carnegie de Washington, pp. 263-278. Vore en particular la pág. 263.
↑ ^17,0 ^17,1 Cajori, Florian (1929). A History of Mathematical Notations, Volume II: Notations Mainly in Higher Mathematics, The Open Court Publishing Company, pp. 71-77.
↑ Miller, Jeff. «st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/f/ Usos més primerencs coneguts d'algunes de les paraules de Matemàtiques (F)». MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.
↑ Craik, Alex D. D. (2005). “Prehistòria de la fòrmula de Faà vaig donar Bruno”. The American Mathematical Monthly 112 (2): 119-130. doi:10.1080/00029890.2005.11920176.
↑ Arbogast, Louis François Antoine (1800). Du calcul dones dérivations (en fr), Strasbourg: L'imprimerie de Levrault, frères, pp. 364-365.
↑ «Successions recurrents» de A. I. Markushévich, Editorial Progrés, 1998
↑ Font ut supra
↑ A. Adrián Albert: Àlgebra superior, UTEHA, Mèxic /1991

Enllaços externs

Calcular factorial d'un número en PHP.
Algoritmes interessants(anglés)
http://factorielle.free.fr
Calculadora de factorials - Fins a 200.000

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Factorial» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] (2008).«Number Story: From Counting to Cryptography».Copernicus.New York:

[datta-singh-2] 2,0 ^2,1 (2019) Studies in Indian Mathematics and Astronomy: Artículs seleccionats de Kripa Shankar Shukla, Springer Singapore, pp. 356-376.. Revisat per K. S. Shukla a partir d'un artícul publicat en Indian Journal of History of Science 27 (3): 231-249, 1992, Plantilla:MR. Vore p. 363.

[3] Jadhav, Dipak. “Jaina Thoughts on Unity Not Being a Number”. History of Science in South Àsia 9: 209-231. University of Alberta Libraries. doi:10.18732/hssa67.. Vore la discussió de la datació en la p. 211.

[4] Biggs, Norman L.. “Les raïls de la combinatoria”. Història Mathematica 6 (2): 109-136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0.

[katz-5] 5,0 ^5,1 Katz, Victor J.. “Ethnomathematics in the classroom”. Per a l'Aprenentage de les Matemàtiques 14 (2): 26-30.

[6] Sefer Yetzirah en Wikisource, Capítul IV, Secció 4

[7] Rashed, Roshdi (1980). “Ibn al-Haytham et li théorème de Wilson” (fr). Archiu d'Història de les Ciències Exactes 22 (4): 305-321.

[8] Acerbi, F. (2003). “On the shoulders of Hipparchus: a reappraisal of ancient Greek combinatorics”. Archiu d'Història de les Ciències Exactes 57 (6): 465-502. doi:10.1007/s00407-003-0067-0.

[9] Katz, Victor J.. Combinatòria: Ancient & Modern, Oxford University Press, pp. 109-121. ISBN 978-0-19-965659-2.

[10] Hunt, Katherine (1 de maig 2018). “The Art of Changes: Bell-Ringing, Anagrams, and the Culture of Combination in Seventeenth-Century England”. Journal of Medieval and Early Modern Studies 48 (2): 387-412. doi:10.1215/10829636-4403136.

[11] Stedman, Fabian (1677). Campanalogia, pp. 6-9.} L'editor apareix com "W.S.", que pot haver segut William Smith, possiblement actuant com a agent de la Societat de Jóvens Universitaris, a la societat dels quals va dirigida la "Dedicatòria".

[12] Knobloch, Eberhard. Combinatòria: Ancient & Modern, Oxford University Press, pp. 123-145. ISBN 978-0-19-965659-2. Vore p. 126.

[FOOTNOTEKnobloch2013{{{c}}}-13] Knobloch, 2013.

[exponential-séries-14] (1990) aneu=Z53SBwAAQBAJ&pg=PA131 Numbers (vol. 123), New York: Springer-Verlag, p. 131. doi:10.1007/978-1-4612-1005-4. ISBN 0-387-97202-1.

[15] Dutka, Jacques (1991). “L'història primerenca de la funció factorial”. Archiu d'Història de les Ciències Exactes 43 (3): 225-249. doi:10.1007/BF00389433.

[16] Dickson, Leonard I. (1919). Història de la Teoria de Números (vol. 1), Institució Carnegie de Washington, pp. 263-278. Vore en particular la pág. 263.

[cajori-17] 17,0 ^17,1 Cajori, Florian (1929). A History of Mathematical Notations, Volume II: Notations Mainly in Higher Mathematics, The Open Court Publishing Company, pp. 71-77.

[18] Miller, Jeff. «st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/f/ Usos més primerencs coneguts d'algunes de les paraules de Matemàtiques (F)». MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.

[craik-19] Craik, Alex D. D. (2005). “Prehistòria de la fòrmula de Faà vaig donar Bruno”. The American Mathematical Monthly 112 (2): 119-130. doi:10.1080/00029890.2005.11920176.

[20] Arbogast, Louis François Antoine (1800). Du calcul dones dérivations (en fr), Strasbourg: L'imprimerie de Levrault, frères, pp. 364-365.

[21] «Successions recurrents» de A. I. Markushévich, Editorial Progrés, 1998

[22] Font ut supra

[23] A. Adrián Albert: Àlgebra superior, UTEHA, Mèxic /1991

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]