Espai de Banach

En matemàtiques, un espai de Banach és un espai vectorial normado i complet en la mètrica definida per la seua norma. És cridat aixina en honor del matemàtic polac, Stefan Banach, és un dels objectes d'estudi més importants en anàlisis funcional. Els espais de Banach són un concepte important en l'anàlisis matemàtic i s'utilisen en una àmplia varietat d'aplicacions, com la teoria d'operadors llineals i la teoria de funcions de variable complexa. Un espai de Banach és típicament un espai de funcions de dimensió infinita.

Definició

Un espai de Banach és un espai vectorial normado i complet en la mètrica definida per la seua norma. Açò vol dir que un espai de Banach és un espai vectorial $V$ sobre el cos dels números reals o el dels complexos en una norma $||\cdot ||$ tal que tota successió de Cauchy (sobre la mètrica $d(x,y)=||x-y||$ en $V$) té un llímit en $V$.

Eixemples

D'ací en avant, $𝕂$ designarà un dels cossos $ℝ$ o $ℂ$:

• Els coneguts espais euclidianos ${𝕂}^n$, a on la norma euclidiana de $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ està donada per $||x||=({\sum }_{j=1}^n|x_j{|}^2{)}^{1/2}$, són espais de Banach.
• L'espai de totes les funcions contínues $f:[a,b]\to 𝕂$ definides sobre un interval compacte (tancat i acotat) $[a,b]$ té l'estructura d'espai de Banach si definim la norma segons $\Vert f\Vert =\sup \{|f(x)|:x\in [a,b]\}.$ Esta és una norma, gràcies al fet de que les funcions contínues definides sobre un interval tancat estan acotades. Este espai és complet en esta norma, i l'espai de Banach resultant es denota per $C[a,b]$. Este eixemple es pot generalisar a l'espai $C(X)$ de totes les funcions contínues $X\to 𝕂$, a on $X$ és un espai compacte, o a l'espai de totes les funcions contínues acotades $X\to 𝕂$, a on $X$ és qualsevol espai topològic, i encara a l'espai $B(X)$ de totes les funcions acotades $X\to 𝕂$, a on $X$ és qualsevol conjunt. En tots estos eixemples podem multiplicar funcions i quedar en el mateix espai: tots estos espais són, de fet, àlgebra de Banach unitàries.

Espais de successions

Si $p\ge 1$ és un número real, podem considerar l'espai de totes les successions infinites $(x_1,x_2,x_3,\dots )$ d'elements en $𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$ tals que la série infinita ${\sum }_{k=1}^{\mathrm{\infty }}|x_k{|}^p$ és finita. Llavors es definix la $p$-norma (o norma-$p$) de la successió com la raïl $p$-ésima del valor de la série. Este espai, junt a la seua norma, és un espai de Banach; es denota per ${\ell }^p$:

${\ell }^p(𝕂):=\{(x_1,x_2,\dots )\in {𝕂}^{\mathbb{N}}:\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|x_k{|}^p<\mathrm{\infty }\}$

L'espai de Banach ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ consistix en totes les successions acotades d'elements en $𝕂$; la norma d'una d'estes successions es definix com el suprem dels valors absoluts dels membres de la successió.

Espais de funcions L^p

Si $p\ge 1$ és un número real, podem considerar a totes les funcions $f:\Omega \subset {ℝ}^n\to ℝ$ tals que | f |^p és Lebesgue-integrable, és dir el conjunt

$F_p(\Omega )=\{f:\Omega \to {ℝ}^n|\underset{\Omega }{\int }|f(𝐱){|}^{p}d𝐱<\mathrm{\infty }\}$

Es definix la norma de $f$ com la raïl $p$-ésima d'esta integral. Per sí mateixa, este espai no és un espai de Banach perque existixen funcions no nules la norma de les quals és zero. Definim una relació d'equivalència com seguix:

$f\sim g\iff \underset{\Omega }{\int }|f-g{|}^p{d}^n𝐱=0$

És dir, $f$ i $g$ són equivalents si i solament si la "semi-norma" de $f-g$ és zero. El conjunt de les classes d'equivalència obté llavors l'estructura d'espai de Banach i és denotat per $L^p(\Omega )$:

$L^p(\Omega )=F_p(\Omega )/\sim$

És crucial usar l'integral de Lebesgue en lloc de l'integral de Riemann en este cas, perque l'integral de Riemann no donaria un espai complet. Estos eixemples es poden generalisar: vore espais L ^p para més detalls.

Atres eixemples

• Si $X$ i $Y$ són dos espais de Banach, llavors podem formar el seu suma directa $X\oplus Y$, que és un espai de Banach també. Esta construcció es pot generalisar per a la suma directa d'una cantitat arbitrària d'espais de Banach.
• Si $M$ és un subespacio vectorial tancat d'un espai de Banach $X$, llavors l'espai cocient $X/M$ és un espai de Banach també.
• Finalment, tot espai de Hilbert és un espai de Banach. El recíproc no és cert.

Conjunt bicompacto

Un conjunt $S$ en un espai de Banach $X$ es diu bicompacto si de tota successió $x_n$ de $S$, en $n\in \mathbb{N}$ es pot obtindre un subsucesión, el llímit del qual està en $S$.

Conjunt compacte

Un conjunt $M$ d'un espai vectorial normado es diu compacte si de tota successió $x_n$ de $M$, en $n\in \mathbb{N}$ es pot extraure una subsucesión fonamental.

Conjunt localment compactar

Un conjunt $H$ d'elements d'un espai vectorial normado $X$ es diu localment compacte si l'intersecció de $H$ en qualsevol bola tancada en $X$ és compacta.

Conjunt débilment compacte

Un conjunt $H$ d'un espai de Banach $X$ es diu débilment compacte si de tota successió infinita dels seus elements es pot extraure una subsucesión débilment fonamental.

Vore també

• Espai (Matemàtiques)

Bibliografia

Anàlisis funcional de Kolmogorov.