Espais Lp

Els espais $L^p$ són els espais vectorials normados més importants en el context de la teoria de la mida i de l'integral de Lebesgue. Reben també el nom de espais de Lebesgue pel matemàtic Henri Lebesgue.

Definició

l'espai de Banach $L_{\mu }^p(X)$ es construïx a partir de l'espai vectorial ${ℒ}_{\mu }^p(X)$, este segon és un espai vectorial pero no és un espai de Banach. Si sobre este segon espai es definix una certa relació d'equivalència de tal manera que les classes d'equivalència (formades per funcions iguals casi en tots els llocs) sí constituïxen un espai vectorial normado que és un espai de Banach.

Considerem $(X,\Sigma ,\mu )$ un espai de mida. Es definix l'espai vectorial:

${ℒ}_{\mu }^p(X)\subseteq C^{-1}(X,ℂ)$

per a $p\in [1,\mathrm{\infty })$ com l'espai de totes les funcions mesurables $f$ que complixen

$\underset{X}{\int }|f{|}^{p}d\mu <\mathrm{\infty }$

Aixina mateix, es definix l'espai ${ℒ}^{\mathrm{\infty }}$ com l'espai de les funcions mesurables $f$ que verifiquen:

$\inf \{a\in ℝ:\mu (\{x\in X:|f(x)|\ge a\})=0\}<\mathrm{\infty }$

és dir, aquelles funcions mesurables acotades llevat en un conjunt de mida nula. Una norma natural per a definir en estos espais seria:

$\Vert f{\Vert }_p=(\int |f{|}^{p}d\mu {)}^{\frac{1}{p}}$, si $p<\mathrm{\infty }$, i $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\inf \{a\in ℝ:\mu (\{x\in X:|f(x)|\ge a\})=0\}$

No obstant, una aplicació aixina definida no resulta norma, ya que no es complix $\Vert f{\Vert }_p=0\Rightarrow f=0$, puix qualsevol funció que siga igual a la funció nula, llevat en un conjunt de mida nula, tindrà norma zero.

Aixina, es definix la següent relació d'equivalència $R$ sobre ${ℒ}^p$:

$fRg\iff f=g$ $\text{c.t.p.},(i.e.\int |f-g{|}^{p}d\mu =0)$

Es prova que efectivament esta és una relació d'equivalència, i es definix

$L^p={ℒ}^p/R$

i.i., l'espai vectorial els elements del qual són les classes d'equivalència de la relació $R$. Considerant llavors sobre $L^p$ les normes anteriorment definides (a on $f$ és qualsevol representant de la classe d'equivalència), es prova que $\Vert \cdot {\Vert }_p$ resulta ser norma i que el seu valor no depén del representant de la classe d'equivalència triat. Usualment no es fa distinció entre funció i classe d'equivalència en este context.

Propietats

1. $L^p$ és un espai de Banach.
2. $L^2$ és un espai de Hilbert, dotat del producte intern $⟨f,g⟩=\int fgd\mu$.
3. Si $\mu (X)<\mathrm{\infty }$, llavors $\mathrm{\forall }s>r$ es té que $L^{\mathrm{\infty }}\subseteq L^s\subseteq L^r$.
4. Si $p\in (1,\mathrm{\infty }),L^p$ és reflexiu.
5. Si denotem per $\mathrm{E}$ a l'espai de les funcions simples, es complix que $\mathrm{E}\cap L^p$ és dens en $L^p$.
6. Si $p\in (1,\mathrm{\infty })$, el dual topològic de $L^p$ és $L^q$ a on $q$ és tal que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.
7. Si l'espai de mida és $\sigma$-finito, llavors el dual de $L^1$ s'identifica en $L^{\mathrm{\infty }}$.
8. Si $(X,\Theta )$ és un espai topològic localment compacte separat, i $\mu$ és una medida regular, llavors $C_0(X,ℝ)$ (l'espai de les funcions contínues a soport compacte) és dens en $L^p$ en $1\le p<\mathrm{\infty }$.
9. L'espai de les funcions infinitament derivables en un obert $\Omega \subseteq {ℝ}^n$ a soport compacte i que estan en $L^p$ en $1\le p<\mathrm{\infty }$, és dens en $L^p$, és dir ${\mathrm{adh}}_{L^p(\Omega )}(C_0^{\mathrm{\infty }}(\Omega )\cap L^p(\Omega ))=L^p(\Omega )$.

Vore també

• Espai de Sóbolev