Espai de mida

Un espai de mida és un objecte bàsic de la teoria de la mida, una branca de les matemàtiques que estudia les nocions generalisades de volums. Conté un conjunt subjacent, els subconjunts d'este conjunt que són factibles de medir (el $σ$ -àlgebra) i el método que s'utilisa per a medir (la mida). Un eixemple important d'un espai de mida és un espai de provabilitat.

Un espai mesurable consta dels dos primers components sense una mida específica.

Definició

Un espai de mida és una terna $(X, 𝒜, μ),$ a on^[1]^[2]

$X$ és un conjunt
$𝒜$ és un $σ$ -àlgebra en el conjunt $X$
$μ$ és una mida en $(X, 𝒜)$

Eixemple

Conjunt $X = {0, 1}$ . els $σ$ -àlgebra en conjunts finitos com l'anterior sol ser el conjunt de potències, que és el conjunt de tots els subconjunts (d'un conjunt dau) i es denota per $𝒫 (\cdot)$ . Seguint esta convenció, establim

𝒜 = 𝒫 (X)

En este cas simple, el conjunt de potència es pot escriure explícitament:

𝒫 (X) = {\emptyset, {0}, {1}, X} .

Com a mida, definixca $μ$ per

μ ({0}) = μ ({1}) = \frac{1}{2},

llavors $μ (X) = 1$ (per aditividad de mides) i $μ (\emptyset) = 0$ (per definició de mides).

Açò conduïx a l'espai de mida $(X, 𝒫 (X), μ)$ . És un espai de provabilitat, ya que $μ (X) = 1$ . La mida $μ$ correspon a la distribució de Bernoulli en $p = \frac{1}{2}$ , que s'utilisa, per eixemple, per a modelar un llançament de moneda just.

Referències

↑ Kosorok, Michael R. (2008). Introduction to empirical processes and semiparametric inference, Springer, p. 83. OCLC 233972325. ISBN 978-0-387-74978-5.
↑ Klenke, Achim (2008). Probability Theory (en en), Springer London. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Espacio de medida» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[:0-1] Kosorok, Michael R. (2008). Introduction to empirical processes and semiparametric inference, Springer, p. 83. OCLC 233972325. ISBN 978-0-387-74978-5.

[2] Klenke, Achim (2008). Probability Theory (en en), Springer London. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

[1]

[2]