Funció mesurable

En teoria de la mida, una funció mesurable és aquella que preserva l'estructura entre dos espais mesurables. Formalment, una funció entre dos espais mesurables es diu mesurable si la preimagen (també cridada image inversa) de qualsevol conjunt mesurable és a la seua volta mesurable.

Definició

Sean $(X,𝒜),(Y,ℬ)$ espais mesurables, $f:X\to Y$. Es diu que $f$ és una funció mesurable sobre $𝒜$ i $ℬ$ (o simplement es diu que és mesurable) si para tot $B\in ℬ$, $f^{-1}(B)\in 𝒜$.

Funcions mesurables especials

• Si $(X,\Sigma )$ i $(Y,\mathrm{T})$ són espais de Borel, llavors tota funció mesurable $f:(X,\Sigma )\to (Y,\mathrm{T})$ és cridada funció de Borel (o funció Borel-mesurable). Tota funció contínua és de Borel, pero no tota funció de Borel és contínua.

• Una funció Lebesgue-mesurable és una funció $f:(ℝ,ℒ)\to (ℂ,{ℬ}_{ℂ})$, a on $ℒ$ és la sigma-àlgebra dels conjunts Lebesgue-mesurables i ${ℬ}_{ℂ}$ és l'àlgebra de Borel en els número complejo $ℂ$. Estes funcions són d'interés en l'anàlisis matemàtic degut a que sempre poden ser integrades.

• Les variables aleatòries són per definició funciones mesurables el domini de les quals és un espai mostral a on s'ha definit una sigma-àlgebra i contradominio en $ℝ,$ en la mida de Lebesgue.

Referències

1. Strichartz, Robert (2000). The Way of Analysis. Jones and Bartlett. ISBN 0-7637-1497-6.
2. Folland, Gerald B. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and their Applications. Wiley. ISBN 0471317160.
3. Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. Wiley. ISBN 0-471-00710-2.
4. Royden, H. L. (1988). Real Analysis. Prentice Hall. ISBN 0-02-404151-3.
5. Unican.és