Àlgebra de Borel

L'àlgebra de Borel és també el menor àlgebra de conjunts de R que conté a tots els intervals de R de la forma [a,b],(a,b),(a,b],[a,b) en a,b ∈ R ∪ {-∞,∞}. Ademés, està formada pels subconjunts de R que es poden posar com a unió finita d'intervals.

En matemàtiques, el àlgebra de Borel (més correctament, σ-àlgebra de Borel, també cridada boreliana) sobre un espai topològic X és una σ-àlgebra de subconjunts de X associada a la topología de X. En la lliteratura matemàtica es poden trobar dos definicions equivalents d'esta:

• La σ-àlgebra generada pels conjunts oberts.
• La σ-àlgebra generada pels conjunts compactes.

La σ-àlgebra generada per una colecció T de subconjunts de X es definix com la mínima σ-àlgebra que conté a T. L'existència i unicitat d'una tal σ-àlgebra es demostra fàcilment notant que l'intersecció de totes les σ-àlgebra que contenen a T és en sí mateixa una σ-àlgebra que conté a T.

Els elements de l'àlgebra de Borel es diuen Conjunt de Borel o conjunts borelianos i deuen el seu nom al matemàtic Émile Borel, que va publicar en 1898 una primera exposició de l'àlgebra boreliana dels número real.

En espais topològics generals, o encara en els localment compactes, les dos estructures definides dalt poden ser diferents, encara que este fenomen es considera patològic en l'anàlisis matemàtic. De fet, les dos estructures coincidixen si l'espai en consideració és un espai localment compacte, separable i mètric.

Eixemple

Un eixemple important, especialment en teoria de provabilitat, és l'àlgebra boreliana sobre el conjunt dels número real. És la σ-àlgebra en la qual es definix la mida de Borel. Donada una variable aleatòria real en un espai de provabilitat, la seua distribució de provabilitat és, per definició, també una mida en l'àlgebra boreliana. L'àlgebra de Borel també és la mínima σ-àlgebra sobre R que conté als subconjunts tancats de R, als intervals oberts o tancats, als intervals semiabiertos de la forma (a, b], o als intervals de la forma (−∞,b].

Referències

• William Arveson, An Invitation to C*-algebras, Springer-Verlag, 1981. Una excelent presentació del aparataje de la topología polonesa es troba en el capítul 3 d'esta obra.

• Richard Dudley, Real Analysis and Probability. Wadsworth, Brooks and Cole, 1989

• Paul Halmos, Measure Theory, D.van Nostrand Co., 1950

• Halsey Royden, Real Analysis, Prentice Hall, 1988

• Donald L. Cohn, Measure theory, Birkhäuser, 1997.