Espai de provabilitat

En teoria de provabilitats, un espai provabilístic o espai de provabilitat és un concepte matemàtic que servix per a modelar un cert experiment aleatori.

El concepte de espai de provabilitat va ser introduït en la teoria de la provabilitat, per Andréi Kolmogórov en 1933.

Un espai de provabilitat consta de tres elements:^[1]^[2]

Un espai mostral, $Ω$ , que és el conjunt de tots els possibles resultats.
Un espai de successos, que és un conjunt de successos $ℱ$ , sent un succés un conjunt de resultats en l'espai mostral.
Una funció de provabilitat, que assigna a cada event en l'espai d'events una provabilitat, que és un número entre 0 i 1.

Per a proporcionar un model sensat de provabilitat, estos elements deuen satisfer una série de axioma, detallats en este artícul.

En l'eixemple del llançament d'un dau estàndar, prendríem l'espai mostral com ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ . Per a l'espai de successos, podríem utilisar simplement el conjunt de tots els subconjunts de l'espai mostral, que contindria llavors successos simples com ${5}$ ("el dau cau en 5"), aixina com successos complexos com ${2, 4, 6}$ ("el dau cau en un número par"). Per últim, per a la funció de provabilitat, assignaríem cada succés al número de resultats d'eixe succés dividit per 6 - aixina, per eixemple, ${5}$ s'assignaria a $1 / 6$ , i ${2, 4, 6}$ s'assignaria a $3 / 6 = 1 / 2$ .

Quan es realisa un experiment, imaginem que la "naturalea" "selecciona" un únic resultat, $ω$ , de l'espai mostral $Ω$ . Tots els events en l'espai d'events $ℱ$ que contenen el resultat seleccionat $ω$ es diu que "han ocorregut". Esta "selecció" es produïx de tal manera que si l'experiment es repetira moltes voltes, el número d'ocurrències de cada succés, com a fracció del número total d'experiments, tendiria molt provablement cap a la provabilitat assignada a eixe succés per la funció de provabilitat $P$ .

El matemàtic rus Andrey Kolmogorov va introduir la noció d'espai de provabilitat, junt en uns atres axioma de provabilitat, en la década de 1930. En la teoria de la provabilitat moderna hi ha una série d'enfocaments alternatius per a la axiomatisació - per eixemple, l'àlgebra de variables aleatòries.

Introducció

Archiu:Dice measure.svg

Espai de provabilitat per a llançar un dau dos voltes seguides: L'espai mostral

Ω

consta dels 36 resultats possibles; es mostren tres successos diferents (polígons coloreados), en les seues respectives provabilitats (suponent una distribució uniforme discreta

Un espai de provabilitat és un triplet matemàtic $(Ω, ℱ, P)$ que presenta un model per a una classe particular de situacions del món real. Com ocorre en atres models, el seu autor definix en última instància quina elements contindran $Ω$ , $ℱ$ , i $P$ .

l'espai mostral $Ω$ és el conjunt de tots els resultats possibles. Un resultat és el resultat d'una única eixecució del model. Els resultats poden ser estats de la naturalea, possibilitats, resultats experimentals i similars. Cada instància de la situació del món real (o eixecució de l'experiment) deu produir exactament un resultat. Si els resultats de diferents eixecucions d'un experiment diferixen d'alguna manera important, són resultats distints. Quines diferències són importants depén del tipo d'anàlisis que vullgam fer. Açò conduïx a diferents opcions d'espai mostral.

La σ-àlgebra $ℱ$ és una colecció de tots els successos que nos agradaria considerar. Esta colecció pot o no incloure cada u dels successos elementals. Ací, un "succés" és un conjunt de zero o més resultats; és dir, un subconjunt de l'espai mostral. Es considera que un succés ha "ocorregut" durant un experiment quan el resultat d'este és un element del succés. Ya que el mateix resultat pot ser membre de molts successos, és possible que hagen ocorregut molts successos donat un únic resultat. Per eixemple, quan l'ensaig consistix en llançar dos daus, el conjunt de tots els resultats a on els daus sumen 7 pot constituir un succés, mentres que els resultats a on la suma dels dos daus és un número impar poden constituir un atre succés. Si el resultat és l'element del succés elemental en el que s'obté un 2 en el primer dau i un 5 en el segon, llavors es diu que abdós successos, "resultat igual a 7" i "resultat impar", han ocorregut.
La mida de provabilitat $P$ és una funció de conjunt que torna la provabilitat d'un succés. Una provabilitat és un número real entre zero (els successos impossibles tenen provabilitat zero, encara que els successos en provabilitat zero no són necessàriament impossibles) i un (el succés ocorre casi segur, en casi total certea). Aixina, $P$ és una funció $P : ℱ \to [0, 1] .$ La funció de mida de la provabilitat deu satisfer dos simples requisits: En primer lloc, la provabilitat de l'unió d'un contable de successos mútuament excloents deu ser igual a la suma contable de les provabilitats de cada u d'estos successos. Per eixemple, la provabilitat de l'unió dels successos mútuament excloents $Cabeza$ i $Cola$ en l'experiment aleatori d'un llançament de moneda, $P (Cabeza \cup Cola)$ , és la suma de la provabilitat per a $Cabeza$ i la provabilitat per a $Cola$ , $P (Cabeza) + P (Cola)$ . En segon lloc, la provabilitat de l'espai mostral $Ω$ deu ser igual a 1 (lo que dona conte del fet de que, donada una eixecució del model, algun resultat deu ocórrer). En l'eixemple anterior, la provabilitat del conjunt de resultats $P (Cabeza, Cola)$ deu ser igual a un, perque és totalment segur que el resultat serà $Cabeza$ o $Cola$ (el model ignora qualsevol atra possibilitat) en un sol llançament de moneda.

No tots els subconjunts de l'espai mostral $Ω$ deuen ser considerats necessàriament com un event: alguns dels subconjunts simplement no són d'interés, uns atres no poden ser "medits". Açò no és tan evident en un cas com el llançament d'una moneda. En un eixemple diferent, es podrien considerar les llongituts dels llançaments de javalina, a on els events són típicament intervals com "entre 60 i 65 metros" i unions de tals intervals, pero no conjunts com els "número irracional entre 60 i 65 metros".

Definició

Un espai de provabilitat és la terna $(Ω, ℱ, P)$ a on el conjunt $Ω$ és cridat espai mostral i és el conjunt dels possibles resultats de l'experiment, $ℱ$ és una σ-àlgebra de subconjunts de $Ω$ que satisfà

$Ω \in ℱ$ .
Si $A \in ℱ$ llavors $A^{c} \in ℱ$ .
Si $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n} \in ℱ$ llavors $A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n} \in ℱ$ .

Al parell $(Ω, ℱ)$ se li coneix com un espai de mida. Per últim, $P : ℱ \to [0, 1]$ és una funció coneguda com mida de provabilitat o funció de provabilitat que assigna una provabilitat a tot succés i que verifica els cridats axioma de Kolmogorov:

$P (Ω) = 1$ .
$P (A) \geq 0$ , $\forall A \in ℱ$ .
Si $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n} \in ℱ$ i $A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ per a $i \neq j$ llavors

\begin{matrix} P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) & = \sum_{i = 1}^{n} P [A_{i}] \\ = P [A_{1}] + P [A_{2}] + \dots + P [A_{n}] \end{matrix}

Conseqüències

A partir dels axioma es deduïx lo següent

Sean $A, B \in ℱ$ llavors $P [A \cup B] = P [A] + P [B] - P [A \cap B]$ .

Ademés

P (\emptyset) = 1 - P (Ω) = 0

És dir que la provabilitat de que es presente el conjunt buit $\emptyset$ és 0.

I si $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n} \in ℱ$ llavors

\begin{matrix} P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) \leq \sum_{i = 1}^{n} P [A_{i}] \end{matrix}

Cas discret

La teoria de la provabilitat discreta només necessita espais mostrals $Ω$ de conjunts com a molt numerables. Es poden atribuir provabilitats a punts de $Ω$ per mig de la funció de massa de provabilitat $p : Ω \to [0, 1]$ tal que $\sum_{ω \in Ω} p (ω) = 1$ . Tots els subconjunts de $Ω$ poden tractar-se com a successos (aixina, $ℱ = 2^{Ω}$ és el conjunt potencia). La mida de provabilitat pren la forma simple Plantilla:NumBlk La major σ-àlgebra $ℱ = 2^{Ω}$ descriu l'informació completa. En general, una σ-àlgebra $ℱ \subseteq 2^{Ω}$ correspon a una partició finita o contable. $Ω = B_{1} \cup B_{2} \cup \dots$ , sent la forma general d'un succés $A \in ℱ$ $A = B_{k_{1}} \cup B_{k_{2}} \cup \dots$ . Vegen-se també els eixemples.

El cas $p (ω) = 0$ està permés per la definició, pero rara volta s'utilisa, ya que tal $ω$ pot excloure's en seguritat de l'espai mostral.

Cas general

Si $Ω$ és incontable, aixina i tot, pot ocórrer que $p (ω) \neq 0$ per a algun $ω$ ; tals $ω$ es diuen àtoms. Són un conjunt com a molt contable (tal volta buit), la provabilitat del qual és la suma de les provabilitats de tots els àtoms. Si esta suma és igual a 1, tots els demés punts poden excloure's en seguritat de l'espai mostral, lo que nos torna al cas discret. En cas contrari, si la suma de provabilitats de tots els àtoms està entre 0 i 1, llavors l'espai de provabilitat es descompon en una part discreta (atòmica) (tal volta buida) i una part no atòmica.

Cas no atòmic

Si $p (ω) = 0$ per a tot $ω \in Ω$ (en este cas, Ω deu ser incontable, perque si no $P(Ω) = 1$ no podria satisfer-se), llavors l'equació (Plantilla:EquationNote) falla: la provabilitat d'un conjunt no és necessàriament la suma sobre les provabilitats dels seus elements, ya que la suma només està definida per a números contables d'elements. Açò fa que la teoria de l'espai de provabilitat siga molt més tècnica. S'aplica una formulació més forta que la suma, la teoria de la mida. Inicialment, les provabilitats s'atribuïxen a alguns conjunts "generadors" (vegen-se els eixemples). A continuació, un procediment de llimitació permet assignar provabilitats a conjunts que són llímits de seqüències de conjunts generadors, o llímits de llímits, i aixina successivament. Tots estos conjunts són la σ-àlgebra $ℱ$ . Els conjunts pertanyents a $ℱ$ es diuen mesurables. En general són molt més complicats que els conjunts generadors, pero molt millors que els conjunts no mesurables.

Espai de provabilitat complete

Un espai de provabilitat $(Ω, ℱ, P)$ es diu que és un espai de provabilitat complet si para tot $B \in ℱ$ en $P (B) = 0$ i tot $A \subset B$ es té $A \in ℱ$ . A sovint, l'estudi dels espais de provabilitat es restringix a espais de provabilitat complets.

Eixemples

Eixemples discrets

Eixemple 1

Si l'experiment consistix en llançar una sola volta una moneda justa, llavors el resultat és cara o creu: $Ω = {H, T}$ . El σ-àlgebra $ℱ = 2^{Ω}$ conté $2^{2} = 4$ events, a saber: ${H}$ ("cara"), ${T}$ ("creu"), ${}$ ("ni cara ni creu"), i ${H, T}$ ("o cara o creu"); en atres paraules, $ℱ = {{}, {H}, {T}, {H, T}}$ . Hi ha un cinquanta per cent de provabilitats de que ixca cara i un cinquanta per cent de que ixca creu, per lo que la mida de provabilitat en este eixemple és $P ({}) = 0$ , $P ({H}) = 0.5$ , $P ({T}) = 0.5$ , $P ({H, T}) = 1$ .

Eixemple 2

Es llança la moneda tres voltes. Hi ha 8 resultats possibles: $Ω = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}$ (ací "HTH", per eixemple, significa que la primera volta la moneda va eixir cara, la segona creu i l'última cara una atra volta). L'informació completa es descriu per mig de el σ-àlgebra $ℱ = 2^{Ω}$ de $28 = 256$ successos, a on cada u dels successos és un subconjunt de Ω.

Alicia només coneix el resultat del segon llançament. Aixina, la seua informació incompleta es descriu per la partició $Ω = A 1 ⊔ A 2 = {HHH, HHT, THH, THT} ⊔ {HTH, HTT, TTH, TTT}$ , a on ⊔ és la unió disjunta, i la corresponent σ-àlgebra $ℱ_{Alice} = {{}, A_{1}, A_{2}, Ω}$ . Bryan només coneix el número total de coes. La seua partició conté quatre parts: $Ω = B 0 ⊔ B 1 ⊔ B 2 ⊔ B 3 = {HHH} ⊔ {HHT, HTH, THH} ⊔ {TTH, THT, HTT} ⊔ {TTT}$ ; en conseqüència, la seua σ-àlgebra $ℱ_{Bryan}$ conté 2⁴ = 16 events.

Les dos σ-àlgebra són incomparables: ni $ℱ_{Alice} \subseteq ℱ_{Bryan}$ ni $ℱ_{Bryan} \subseteq ℱ_{Alice}$ ; mbas són sub-σ-àlgebra de 2^Ω.

Eixemple 3

Si s'extrauen a l'encert 100 votants d'entre tots els votants de Califòrnia i se'ls pregunta a quí votaran com a governador, el conjunt de totes les seqüències de 100 votants californians seria l'espai mostral Ω. Suponem que s'utilisa mostreig sense reemplazamiento: només es permeten seqüències de 100 votants diferents. Per simplicitat es considera una mostra ordenada, és dir, una seqüència {Alice, Bryan} és diferent de {Bryan, Alice}. També donem per fet que cada votant potencial coneix exactament la seua elecció futura, és dir, no elegix a l'encert.

Alice només sap si Arnold Schwarzenegger ha rebut a lo manco 60 vots. La seua informació incompleta està descrita per el σ-àlgebra $ℱ_{Alice}$ que conté: (1) el conjunt de totes les seqüències en Ω a on a lo manco 60 persones voten per Schwarzenegger; (2) el conjunt de totes les seqüències a on menys de 60 voten per Schwarzenegger; (3) tot l'espai mostral Ω; i (4) el conjunt buit ∅.

Bryan coneix el número exacte de votants que van a votar a Schwarzenegger. La seua informació incompleta ve descrita per la partició corresponent $Ω = B 0 ⊔ B 1 ⊔ \dots ⊔ B 100$ i el σ-àlgebra $ℱ_{Bryan}$ consta de 2¹⁰¹ successos.

En este cas la σ-àlgebra d'Alice és un subconjunt de la de Bryan: $ℱ_{Alice} \subset ℱ_{Bryan}$ . La σ-àlgebra de Bryan és a la seua volta un subconjunt de la molt major "informació completa" σ-àlgebra 2^Ω que consistix en $2 n (n -1)\dots(n -99)$ events, a on n és el número de tots els votants potencials en Califòrnia.

Vore també

Referències

↑ Loève, Michel. Teoria de la provabilitat, Vol 1. New York: D. Van Nostrand Company, 1955.
↑ Stroock, D. W. (1999). Teoria de la provabilitat: una visió analítica. Cambridge University Press.

Bibliografia

Dagum, Camilo i Estela M. Bee de Dagum(1971) Introducció a l'Econometria: 76-77. Mèxic: Sigle XXI editors, sèptima edició, 1980.
Kolmogórov, Andréi Nikoláyevich (1950) Foundations of the Theory of Probability. New York: Chelsea Publishin Company, second english edition, 1956.
Kolmogórov, Andréi Nikoláyevich (1933) "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung"; Ergebnisse der Mathematik, Berlín. (en alemà)
Pierre Simon de Laplace (1812) Analytical Theory of Probability

El primer gran tractat que combina el càlcul en la teoria de la provabilitat, originalment en francés: Théorie Analytique dones Probabilités.

Harold Jeffreys (1939) The Theory of Probability

Un enfocament empirista i bayesiano dels fonaments de la teoria de la provabilitat.

Edward Nelson (1987) Radically Elementary Probability Theory

Fonaments de la teoria de la provabilitat basats en l'anàlisis no estàndar. Descargable. http://www.math.princeton.edu/nelson/books.html

Patrick Billingsley: Probability and Measure, John Wiley and Sons, New York, Toronto, London, 1979.
Henk Tijms (2004) Understanding Probability

A lively introduction to probability theory for the beginner, Cambridge Univ. Press.

David Williams (1991) Probability with martingales

An undergraduate introduction to measure-theoretic probability, Cambridge Univ. Press.

Enllaços externs

Plantilla:Springer
Animation demonstrating probability space of diu
Virtual Laboratories in Probability and Statistics (principal author Kyle Siegrist), especially, Probability Spaces
Citizendium
Complete probability space
Espai de provabilitat en MathWorld.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Espacio de probabilidad» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Loève, Michel. Teoria de la provabilitat, Vol 1. New York: D. Van Nostrand Company, 1955.

[2] Stroock, D. W. (1999). Teoria de la provabilitat: una visió analítica. Cambridge University Press.

[1]

[2]