Espai mostral

En la teoria de provabilitats, el espai mostral o espai de mostreig (denotat I, S, Ω o O) consistix en el conjunt de tots els possibles resultats d'un experiment aleatori, junt en una estructura sobre el mateix.

En llançar una moneda, s'obté un espai mostral compost per dos resultats que tenen casi la mateixa provabilitat.

Per eixemple, si l'experiment consistix en llançar dos monedes, l'espai mostral és el conjunt {(cara, cara), (cara, creu), (creu, cara) i (creu, creu)}. Un event o succés és qualsevol subconjunt de l'espai mostral en estructura de σ-àlgebra, cridant-se als successos que continguen un únic element successos elementals. En l'eixemple, el succés "traure cara en el primer llançament", o {(cara, cara), (cara, creu)}, estaria format pels successos elementals {(cara, cara)} i {(cara, creu)}.

Per a alguns tipos d'experiment pot haver dos o més espais de mostreig possibles. Per eixemple, quan es pren una carta d'un mall normal de 52 cartes, una possibilitat de l'espai de mostreig podria ser el número (de l'as al rei), mentres que una atra possibilitat seria el pal (diamants, trébols, cors i piques). Una descripció completa dels resultats, no obstant, especificaria abdós valors, número i pal, i es podria construir un espai de mostreig que descriguera cada carta individual com el producte cartesiano dels dos espais de mostreig descrits.

Els espais de mostreig apareixen de forma natural en una aproximació elemental a la provabilitat, pero són també importants en espais de provabilitat. Un espai de provabilitat (Ω, F, P) incorpora un espai de mostreig de resultats, Ω, pero definix un conjunt de successos d'interés, la σ-àlgebra F, per la qual es definix la mida de provabilitat P.

Definició

Formalment, un espai mostral és una tripleta $(\Omega ,𝒜,\mu )$ a on $\Omega$ és el conjunt al que pertanyen els successos elementals. Per un atre costat $𝒜\subset 𝒫(\Omega )$ és una colecció de subconjunts de $\Omega$ que forma una σ-àlgebra de subconjunts (els subconjunts $S\in 𝒜$, són els events aleatoris no elementals), i finalment $\mu$ és una medida de conjunts que permet assignar provabilitats als successos o events de l'espai mostral.

Tipos d'espai mostral

Podem diferenciar entre dos tipos principals d'espais mostrals, cada u en subcategoría:

• Espais mostrals discrets o numerables, que a la seua volta es dividixen en
  • Espais mostrals finitos.
  • Espais mostrals infinits numerables.
• Espais mostrals continus, que sempre són infinits no numerables.

Discrets

Els espais discrets són espais numerables, en ells el conjunt de successos elementals és finit o infinit numerable. En conseqüència, la provabilitat per a cada u dels events elementals es pot representar per un número real $p_k$ en $k\in \mathbb{N}$. Estos números satisfan la relació:

En un espai mostral discret sol prendre's com σ-àlgebra el conjunt potencia de $\Omega$, és dir, el conjunt de totes les parts (numerables) de $\Omega$. Com a mida de provabilitat pot adoptar-se la mida:

a on $\{{\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,\}$ és una enumeració dels elements de $\Omega$.

Espai provabilístic discret equiprobable

• El seu espai mostral és finit de tamany n.
• La provabilitat de qualsevol succés elemental I és

$P(E)=\frac{1}{n}$

d'ací es deduïx que para tot succés A la provabilitat és

$P(A)=\frac{n(A)}{n}$

Espai provabilístic finit

• El seu espai mostral és discret finit.
• Hi ha a lo manco 2 successos elementals que complixen.$P(A)\ne P(B)$

Processos estocàstics finitos i diagrames d'arbre

Un procés estocàstic és una successió finita d'experiments aleatoris, cada u d'ells en un número finit de resultats possibles. Es representen en diagrama d'arbre.

Per eixemple, imaginem que es llança una moneda i un dau de sis cares. La provabilitat d'obtindre un resultat particular correspon a la multiplicació de les seues provabilitats. És dir, la provabilitat d'obtindre «cara» i un tres serà:

Ara be, la provabilitat d'un succés qualsevol és la suma de les provabilitats dels distints resultats aïllats possibles. Aixina, la provabilitat de traure sempre un resultat impar en els daus, independentment del resultat de la moneda, serà:

$P(I)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}$

Espai provabilístic infinit contable

Aquell l'espai mostral del qual és discret infinit contable. Per eixemple:

• La provabilitat de que ixca cara en la primera tirada ----> $\frac{1}{2}$
• La provabilitat de que ixca novament cara en la segona tirada ----> $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
• La provabilitat de que ixca novament cara en la tercera tirada ----> $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$

Continus

Són aquells espais a on el número de successos elementals és infinit incontable. Freqüentment la σ-àlgebra es pren com una σ-àlgebra de Borel associada a un conjunt de variables aleatòries, encara que existixen atres possibilitats més complexes. Per a variables aleatòries absolutament contínues pot construir-se medides a partir de la funció de distribució que en eixe cas dona una mida contínua respecte a la mida de Lebesgue (de fet la funció de densitat de provabilitat resulta ser la derivada de Radon-Nikodym de la mida en qüestió respecte a la mida de Lebesgue.

Espai provabilístic continu

• Espai mostral infinit no numerable. Per a mides absolutament contínues, no és possible observar punts concrets de l'espai, ya que tots els successos elementals tenen provabilitat nula.
• Té sentit parlar d'intervals observats. - No és possible assignar provabilitat a un punt concret, s'assigna a intervals.
• Per tant la funció P està definida sobre intervals -----> $\mathbb{P}(K_i<\exp >K_e)$

Habitualment quan treballem en magnituts físiques.

Particions

És possible definir particions sobre l'espai mostral. Formalment parlant, una partició sobre $\Omega$ es definix com un conjunt numerable:

1. $A_1\cup A_2\cup \mathrm{..}\cup A_n=\Omega$
2. $A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }\mathrm{\forall }i\ne j;i,j=\mathrm{1..}n$
3. $P(A_i)>0\mathrm{\forall }i=\mathrm{1..}n$

Eixemples

Per eixemple, en el cas de l'experiment aleatori "llançar un dau", l'espai mostral de l'experiment seria: Ω={1,2,3,4,5,6}. Per un atre costat, si canviem llaugerament l'experiència pensant en el número resultant de la suma de 2 daus, llavors tenim 2 possibles espais mostrals per a modelar la nostra realitat:

• $\Omega =\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),\dots (6,6)\}=\{1,2,3,4,5,6\}$$\times$$\{1,2,3,4,5,6\}$
• $\Omega =\{2,3,4,\dots ,12\}$

L'elecció de l'espai mostral és un factor determinant per a realisar el càlcul de la provabilitat d'un succés.

Referències

Bibliografia

• P. Ibarrola, L. Pardo i V. Quesada (1997): Teoria de la Provabilitat, Ed. Síntesis, ISBN 84-7738-516-5.
• Spiegel, Murray. 1970. Estadística, McGraw-Hill, Mèxic.
• Olav Kallenberg, Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer-Verlag, New York (2005). 510 pp. ISBN 0-387-25115-4
• Kallenberg, O., Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Séries in Statistics. (2002). 650 pp. ISBN 0-387-95313-2.